想要成为一名优秀的教育者，在日常的生活中少不了编写教案。通过编写能够帮助教师更好的掌握教材的重点和难点，除此之外教师也能更好的把握课堂的节奏。而且一份优秀的教案能让教师更好的完成教学目标。那么怎么写一份优秀的教案呢？下面是小编整理的双曲线及其标准方程教案，仅供大家参考。

一、学习目标：

【知识与技能】:

1、通过教学,使学生熟记双曲线的定义及其标准方程,并理解这一定义及其标准方程的探索推导过程.

2、理解并熟记双曲线的焦点位置与两类标准方程之间的对应关系.

【过程与方法】:

通过“实验观察”、“思考探究”与“合作交流”等一系列数学活动,培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力,使学生学会数学思考与推理,学会反思与感悟,形成良好的数学观.【情感、态度与价值观】:通过实例的引入和剖析,让学生再一次感受到数学来源于实践又反作用于实践;生活中处处有数学.

二、学情分析：

1、在学生已学习椭圆的定义及其标准方程和掌握“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念之后,学习双曲线定义及其标准方程,符合学生的认知规律,学生有能力学好本节内容;

2、由于学生数*算能力不强,分析问题、解决问题的能力,逻辑推理能力,思维能力都比较弱,所以在设计的时候往往要多作铺垫,扫清他们学习上的障碍,保护他们学习的积极性,增强学习的主动性.

三、重点难点：

教学重点:双曲线的定义、标准方程

教学难点:双曲线定义中关于绝对值,2a

四、教学过程：

【导入】

1、以*面截圆锥为模型，让学生认识双曲线，认识圆锥曲线；

2、观察生活中的双曲线；

【设计意图:让学生对圆锥曲线整体有所把握,体会数学来源于生活.】探究一

活动1：类比椭圆的学习，思考：

研究双曲线，应该研究什么？怎么研究？

从而掌握本节课的主线：实验、双曲线的定义、建系、求双曲线的标准方程；活动二：数学实验：

(1)取一条拉链，拉开它的一部分，

(2)在拉链拉开的两边上各取一点，分别固定在点F1，F2上，

(3)把笔尖放在拉头点M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线。

(4)若拉链上被固定的两点互换，则出现什么情况？

学生活动:六人一组，进行实验，展示实验成果：

【设计意图:学生亲手操作，加深对双曲线的了解，培养小组合作精神.】

学生实验可能出现的情况:画出双曲线的居多，但还是有画出中垂线，或者两条射线的可能，学生展示，小组同学解释，为什么会出现这种情况？

【设计意图:让学生在“实验”、“思考”等活动中,自己发现问题、提出问题】活动三：几何画板演示，得到双曲线的定义：老师演示，学生思考：

引导学生结合实验分析，得出双曲线上的点满足的条件，给出双曲线的定义

双曲线：

*面内到两定点的距离的距离的差的绝对值等于定长2a（小于两定点F1F2的距离）的点的轨迹叫做双曲线。

两定点F1F2叫做双曲线的焦点

两点间F1F2的距离叫做焦距

在双曲线定义中,请同学们思考下面问题: 1:联想到椭圆的定义,你是否感到双曲线中的常数2a也需要某种限制?为什么? 2:若2a=2c,则M点的轨迹又会是什么呢?又2a>2c呢?强调：2a大于|F1F2｜时轨迹不存在2a等于|F1F2｜时，时两条射线。

所以,轨迹为双曲线,必需限制2a

活动四：探究双曲线标准方程：

1、类比:类比椭圆标准方程的建立过程(用屏幕显示图形),让学生认真捉摸坐标系的位置特点(力求使其方程形式最简单).

2、合作:师生合作共同推导双曲线的标准方程.(学生推导,然后教师归纳)按下列四步骤进行:建系、设点、列式、化简从而得出了双曲线的标准方程.双曲线标准方程:焦点在x轴上(a>0,b>0)

3、探究:在建立椭圆的标准方程时,选取不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程.那么双曲线的标准方程还有哪些形式?

222在y轴上(a>0,b>0)其中:c=a+b活动五：归纳、总结

活动六：典例分析

例1：已知双曲线的两个焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),双曲线上的点P到F1、F2距离差的绝对值等于6,求双曲线标准方程.变式(1):已知双曲线的两个焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),双曲线上的点P到F1、F2距离差等于6,求双曲线标准方程.变式(2) :若两定点为|F1F2|=10则轨迹方程如何?感悟: ①求给定双曲线的标准方程的基本方法是:待定系数法.(若焦点不定,则要注意分类讨论的思想.)

【设计意图:教学过程是师生互相交流、共同参与的过程.数学通过交流,才能得以深入发展,数学思想才能变得更加清晰】

活动七：小结

1.本节课学习的主要知识是什么? 2.本节课涉及到了哪些数学思想方法?课后作业：

必做题:课本55页练习2,3

选做题：课本61页习题A组2

㈠课时目标

1．熟悉双曲线的几何性质。

2．能理解离心率的大小对双曲线形状的影响。

3．能运用双曲线的几何性质或图形特征，确定焦点的位置，会求双曲线的标准方程。

㈡教学过程

[情景设置]

叙述椭圆的几何性质，并填写下表：

方程

性质

图像（略）

范围-a≤x≤a，-b≤y≤b

对称性对称轴、对称中心

顶点（±a,0）、（±b,0）

离心率e=(几何意义)

[探索研究]

1．类比椭圆的几何性质，探讨双曲线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率。

双曲线的实轴、虚轴、实半轴长、虚半轴长及离心率的定义。

双曲线与椭圆的几何性质对比如下：

方程

性质

图像（略）（略）

范围-a≤x≤a，-b≤y≤bx≥a,或x≤-a,y∈R

对称性对称轴、对称中心对称轴、对称中心

顶点（±a,0）、（±b,0）（-a,0）、（a,0）

离心率0＜e=＜1

e=＞1

下面继续研究离心率的几何意义：

（a、b、c、e关系：c2=a2+b2, e=＞1）

2.渐近线的发现与论证

根据椭圆的上述四个性质，能较为准确地把画出来吗？（能）

根据上述双曲线的四个性质，能较为准确地把画出来吗？（不能）

通过列表描点，能把双曲线的顶点及附近的点，比较精确地画出来，但双曲线向何处伸展就不很清楚。

我们能较为准确地画出曲线y=,这是为什么？（因为当双曲线伸向远处时，它与x轴、y轴无限接近）此时，x轴、y轴叫做曲线y=的渐近线。

问：双曲线有没有渐近线呢？若有，又该是怎样的直线呢？

引导猜想：在研究双曲线的范围时，由双曲线的’标准方程可解出：

y=± =±

当x无限增大时，就无限趋近于零，也就是说，这是双曲线y=±

与直线y=±无限接近。

这使我们猜想直线y=±为双曲线的渐近线。

直线y=±恰好是过实轴端点A1、A2，虚轴端点B1、B2，作*行于坐标轴的直线x=±a, y=±b所成的矩形的两条对角线，那么，如何证明双曲线上的点沿曲线向远处运动时，与渐近线越来越接近呢？显然，只要考虑第一象限即可。

证法1：如图，设M（x0,y0）为第一象限内双曲线上的仍一点，则

y0=，M（x0,y0）到渐近线ay-bx=0的距离为：

∣MQ∣= =

=．

点M向远处运动，x0随着增大，∣MQ∣就逐渐减小，M点就无限接近于y=

故把y=±叫做双曲线的渐近线。

3．离心率的几何意义

∵e=，c＞a, ∴e＞1由等式c2-a2=b2,可得===

e越小（接近于1）越接近于0，双曲线开口越小（扁狭）

e越大越大，双曲线开口越大（开阔）

4．巩固练习

求下列双曲线的渐近线方程，并画出双曲线。

①4×2-y2=4 ②4×2-y2=-4

已知双曲线的渐近线方程为x±2y=0，分别求出过以下各点的双曲线方程

①M（4，）②M（4，）

[知识应用与解题研究]

例1求双曲线9y2-16×2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。

例2双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转而成的曲面，如图；它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高为55m,选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m）

㈣提炼总结

1.双曲线的几何性质及a、b、c、e的关系。

2.渐近线是双曲线特有的性质，其发现证明蕴含了重要的数学思想与数学方法。

3.双曲线的几何性质与椭圆的几何性质类似点和不同点。

【活动方案】

一、说教材

学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步深化和提高。如果双曲线研究的透彻、清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章。所以说本节课的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向为双曲线的简单性质的学习打下基础。

二、说学情

知识方面，学生已经学习了椭圆和抛物线，基本掌握了求曲线方程的一般方法，能对含有两个根式的方程进行化简，对数形结合、类比推理的思想方法有一定的体会。

能力方面，学生有一定的学习基础和分析问题、解决问题的能力。

三、教学目标

（一）知识与技能目标：理解双曲线的定义，能推导出双曲线的标准方程，能根据已知条件求双曲线的标准方程。

（二）过程与方法目标：培养学生类比推理能力，培养学生数形结合研究解析几何问题的能力。

（三）情感态度与价值观目标：让学生体会数学的理性和严谨，养成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度。

四、教学重难点

（一）重点：理解和掌握双曲线的定义及其标准方程；

（二）难点：双曲线标准方程的推导。

五、教学法

（一）教法：可采用引导探究法，充分利用青少年富有创造性，对体验成功的渴望的特点，让学生自觉主动地创造性的去分析问题、讨论问题、解决问题；

（二）学法：在学习方法的制定上，要充分发挥学生在学习活动中的作用，通过学生主动探索、动手实践调动学生学习的积极性，在与学生的互动交流中注重培养学生类比推理、数形结合解决问题的能力，转变学生的学习方式，形成理性、严谨的解决问题的态度。

六、教学过程

（一）回顾椭圆

【设置问题】在课的开始可以设置几个问题 让学生回答，在学生回答之后，把双取线定义和标准方程的答案展示出来，然后演示椭圆的生成过程。

【设计意图】通过回顾，既检测了学生对前面知识的掌握情况，同时又为下面双曲线的学习做好铺垫，之后告诉学生：我们要学习一种新的曲线——双曲线。

【创设情境】播放一首“悲伤双曲线的MTV”，让学生认识双曲线。接着展示实际生活中双曲线的图片，目的使学生对双曲线有一个感性的认识，随着对双曲线的了解认识。

（二）讲授新课

1.画一画（双曲线）

请学生拿出课前准备的硬纸板、细线、铅笔，同桌一起合作画双曲线。

【设计意图】给学生提供一个动手操作、合作学习的机会，通过实验可以是使学生去探究“满足什么样的条件下的点的集合为双曲线”有深刻地理解，培养学生的自信心，成就感。

在学生画完双曲线之后，教师用动画演示双曲线的形成。

【设计意图】使学生对双曲线的形成更进一步加深。

2.议一议（双曲线定义）

教师进行启发引导，可以把本班学生分成几个小组，让他们探究归纳双曲线的定义及存在条件？然后每组派出一个代表进行总结。根据学生总结的情况，由教师给出双曲线确切定义及双曲线存在的条件。

【设计意图】使学生在自主探究中一步一步地由感性认识上升到理性认识，从而培养了学生的观察能力及概括能力。

3.求一求（双曲线标准方程）

【设置问题】教师根据双曲线的方程设置相关的问题，引导学生自行推导，学生在推导过程中遇到疑问由教师进行适当点拨，并让学生之间进行交换结论。

【设计意图】由整个推导过程，不仅提高了学生的变形能力、运算能力，而且也提高学生的分析和解决问题的能力。

（三）巩固练习

讲解课本例1例2

例1是利用双曲线的定义求标准方程，讲解过程中注重强调理解双曲线的定义 例2是双曲线的实际应用，提高学生关于数学来自生活、应用于生活的意识，提高学生数形结合解题的意识与能力。

（四）课堂小结

为了让学生建构自己的知识体系，可以让学生自己概括所学的内容。这样既能培养学生的概括能力，又能营造民主和谐的师生关系。

（五）布置作业

作业布置：做课本习题3-3A组第1、3、4题；

思考双曲线中2a2c时，是什么图形？

学生在学习这节课之前，已经掌握了椭圆的定义及其标准方程，所以从知识和学习方式上来说已具备了自行推导的方程的基础，所以教师在课堂教学的过程中可充当一个引导和点拨的角色！

教学准备

教学目标

1、熟练掌握曲线的方程和方程的曲线概念;

2、掌握坐标法和解析几何的概念

3、掌握根据已知条件求平面曲线方程的基本步骤;

4、学会根据已知条件求简单的平面曲线的方程。

5、学会判断曲线和方程的关系。

教学重难点

掌握求平面曲线方程的一般步骤。

教学过程

教学过程：

一、 复习过程

1、 复习曲线的方程和方程的曲线的概念;

2、 复习巩固练习：

(1) 设A(2,0)、B(0,2)，能否说线段AB的方程为x+y-2=0?

(2) 方程x2-y2=0表示的图形是。

二、 讲授新课

1、 坐标法：借助坐标系研究几何图形的方法。

2、 解析几何：用坐标法研究几何图形的知识所形成的一门学科。

即用代数的方法来研究几何问题的一门数学学科。

3、 平面解析几何研究的主要问题：

(1) 根据已知条件，求出表示平面曲线的方程。

(2) 通过方程，研究平面曲线的性质。

4、 探究求曲线的方程的一般步骤。

例1、 设A、B两点的坐标是A(-1，-1)、(3,7)，求线段AB的垂直平分线的方程。

例2、 点M与两条互相垂直的直线的距离的积是常数k(k>0),求点M的轨迹方程。

解：取已知的两条互相垂直的直线为坐标轴，建立直角坐标系如图所示。

设M的坐标为(x,y)，点M的轨迹就是与坐标轴的距离的积等于常数k的点的集合为 P={M||MR|o|MQ|=k｝ 其中Q、R分别是点M到x轴、y轴的垂线的垂足。

因为点M到x轴、y轴的的距离分别是它的纵坐标和横坐标的绝对值，所以条件|MR|o|MQ|=k可以写成

|x|o|y|=k

即　xy=k ①

我们证明方程①是所求轨迹的方程。

(1) 由求方程的过程　可知，曲线上的点的坐标都是方程①的解;

(2) 设点M1的坐标(x1,y1)是方程①的解，那么x1y1=k

即|x1|o|y1|=k

而|x1|、|y1|正好是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点。

由(1)、(2)可知，方程 ①是所求轨迹的方程。

5、 总结求曲线的方程的一般步骤：

(1) 建立适当的坐标系，用有序实数对(x,y)表求曲线上任意一点M的坐标;(建系设点)

(2) 写出适合条件p的点M的集合;(找等量关系)

(3) 用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x,y)=0;(列方程)

(4) 化简方程f(x,y)=0;

(5) 证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。(一般情况下可省略)

例3、已知一条曲线在x轴的上方，它上面的每一点到点A(0,2)的距离减去它到x轴的距离的差是2，求这条曲线的方程。(y=x2 且x≠0)

一、 课堂练习：

一个动点P与两个定点A、B的距离的平方和为122，|AB|=10,求动点P的轨迹方程。

解析：以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系。……所求动点P的轨迹方程是。

以AB所在直线为x轴，以A点为原点建立直角坐标系。……所求动点P的轨迹方程是

二、 课堂总结：

求曲线方程的一般步骤。

五、布置作业：习题7.6：3、4、5、6。

一、 教材分析

1、 教材地位

本节课是新课程人教A版选修2-1 第2章 第三节第一课时。它是在学生学习了直线、圆和椭圆的基础上进一步研究学习的，也为后面的抛物线及其标准方程做铺垫。

2、教材作用(重要模型，数形结合)

圆锥曲线是一个重要的几何模型，有许多几何性质，这些性质在日常生活、生产和科学技术中有着广泛的应用。同时，圆锥曲线也是体现数形结合思想的重要素材。

3、设计理念：体现素质教育的要求和新课程理念，融合”知识与技能”、”过程与方法”、”情感态度与价值观”三维教学目标，注重学生学习过程的体验，体现自主、合作、探究的学习方式;注重数学基本能力的培养和基础知识的掌握，又注重数学思想与方法的教育，同时反映数学学科前沿以及与科学、技术、社会的联系;教学过程中体现过程性评价对学生发展的作用，体现教师的有效指导作用。

二、目标分析

1.知识与技能目标

①理解双曲线的定义

②能根据已知条件求双曲线的标准方程。

③进一步感受曲线方程的概念，了解建立曲线方程的基本方法。

2.过程与方法目标

①提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力。

②培养学生利用数形结合这一思想方法研究问题。

③培养学生的类比推理能力、观察能力、归纳能力、探索发现能力。

3.情感、态度与价值观目标

①亲身经历双曲线及其标准方程的获得过程，感受数学美的熏陶。

②通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨。

③养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度。

4、重点难点

基于以上分析，我将本课的教学重点、难点确定为：

①重点：感受建立曲线方程的基本过程，掌握双曲线的标准方程及其推导方法。

②难点：双曲线的标准方程的推导。

三、学情分析：

1、知识方面：学生已经学习直线、圆和椭圆，基本掌握了求曲线方程的一般方法，能对含有两个根式的方程进行化简，对数形结合、类比推理的思想方法有一定的体会。

2、能力方面：学生对基本的计算机操作较为熟练、有一定的学习基础和分析问题、解决问题的能力，且有一定的群体性小组交流能力与协同讨论学习能力。

四、教法学法分析

在教法上，主要采用探究性教学法和启发式教学法。探究性学习就是充分利用了青少年学生富有创造性和好奇心，敢想敢为，对新事物具有浓厚的兴趣的特点。让学生根据教学目标的要求和题目中的已知条件，自觉主动地创造性地去分析问题、讨论问题、解决问题。

启发式教学法就是以启发、引导为主，采用设疑的形式，逐步让学生进行探究性的学习。通过创设情境，充分调动学生已有的学习经验，让学生经历“观察——猜想——证明——应用”的过程，发现新的知识，把学生的潜意识状态的好奇心变为自觉求知的创新意识。又通过实际操作，使刚产生的数学知识得到完善，提高了学生动手动脑的能力和增强了研究探索的综合素质。

新课程倡导“自主、合作、探究”学习，引导学生自主探索、发现知识;通过设计问题，以支撑学生积极的学习活动，帮助他们成为学习活动的主体;创设真实的问题情境，诱发他们进行探索与解决问题。并注意培养学生的动手实践能力。

五、说教学过程

教学环节 教学过程 设计意图

复习引入

这一环节既可以使学生温故而知新，也为后面的学习做好铺垫。

双曲线的定义 通过课本的实验探究(以动画形式展示)，引入双曲线的定义：平面内与两定点 的距离的差的绝对值等于常数 (小于 )的点的集合。

符号表示： ( )

其中：焦点—— ;焦距—— (设为 );

设常数

思考：1、去掉“绝对值”后，点M的轨迹为什么?(用动画展示)

2、若常数 ，则点M的轨迹是什么?(用动画展示) 1、让学生在具体的问题情境中经历知识的形成和发展，将实际问题抽象为数学模型，并进行解释与运用的过程。课堂教学的关键是要激发学生的求知欲，让学生主动参与，发现学习。

2、通过设问，把学生逐步引入问题情景中，通过师生互动等形式，让学生在问题中学会思考，学会学习，最终使问题得以解决。同时，问题具有一定的梯度，对学生的思考有一定的引导和启发作用。

双曲线的标准方程 1、复习求曲线方程的一般步骤：建系、设点——列式——化简——检验

2、推导焦点在x轴和y轴上的双曲线的标准方程

学生分成两大组，一组推导焦点在x轴上的双曲线的标准方程，另一组推导焦点在y轴上的双曲线的标准方程，最后交换结论。

3、 比较两种标准方程。

两点说明：① 关系： ②如何判断焦点的位置：看 前的系数的正负，哪一项为正，则在相应的轴上。(口诀：焦点看正负!)

1、在比较如何化简方程简单后，我选择放手让学生化简，让学生体验化简方程的艰辛，经受锻炼，尝试成功，提高学生参与教学过程的积极性。

2、在得到双曲线的标准方程之后，我和学生共同总结推导双曲线标准方程的步骤，其目的是进一步强化求曲线方程的一般步骤，同时也让学生享受成功的喜悦。

3、体现类比推理的思想.培养学生归纳总结和类比推理的能力.

4、在推导过程中我令 ，一是为了美化方程，使方程具有对称性，二是为后面几何性质的学习做铺垫。

例题解析

例1的教学是为了让学生清楚：求双曲线的焦点坐标(或者是方程当中的 )，必须要把方程化为标准方程。

通过例2让学生明白，求双曲线的标准方程主要是确定两个要素：一是双曲线的位置，由焦点来决定;二是双曲线的形状，由 来决定。

例3是双曲线的实际应用，关键是利用双曲线的定义来解题，要注意焦点的位置。

课堂小结

为了让学生建构自己的知识体系，我让学生自己概括所学的内容。我认为这样既能培养了学生的概括能力，又能营造民主和谐的师生关系。

作业布置 上交：人教版高中数学选修2–1

P61 习题2.3 A组 第2，5题

进一步巩固本节课所学内容

六、板书设计：

一、 双曲线的定义

二、 双曲线的标准方程

1、焦点在x轴上 2、焦点在y轴上

三、 例题解析

一、教学目标：

（1）  知识与技能：与椭圆定义类比，深刻理解双曲线的定义并能独立推导出双曲线标准方程；

（2）  过程与方法：通过定义及标准方程的深刻挖掘与探究 ，使学生进一步体验类比发现及数形结合等思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力；

（3）  情感态度与价值观：通过教师指导下的学生交流探索活动，激发学生的学习兴趣，培养学生用联系的观点认识问题。

二、教学重点：双曲线的定义、标准方程及其简单应用

三、教学难点：双曲线定义中关于绝对值，2a0)；另一支满足

|M|－|M|=－2a(a>0)。我们将这两条曲线叫双曲线,其中的一条叫双曲线的一支。

（3）研究2a和2c的关系.

提出问题：平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数的动点的轨迹一定是双曲线吗?

① 当2a2c时，动点没有轨迹.

现在请同学们给出双曲线的准确定义：

平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点的距离叫做双曲线的焦距

3、新课讲解：

（1）、双曲线定义：

平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点的距离叫做双曲线的焦距

强调：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数2a小于2c ”  

(2)、双曲线的标准方程：

与求椭圆的标准方程类似，我们根据双曲线的定义推导双曲线的标准方程。求曲线方程的基本步骤是什么？

①建系；②设点；③列式；④化简

(3)、双曲线的标准方程的特点：

①双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种：

 焦点在x 轴上时，双曲线的标准方程为：(a＞0,b＞0)

 焦点在 y轴上时，双曲线的标准方程为：(a＞0,b＞0)

②有关系式成立，且其中a与b均为正值，大小关系不确定

4、如何根据双曲线的标准方程判断焦点的位置：

从椭圆的标准方程不难看出，椭圆的焦点位置可由方程中含字母、项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 而双曲线是根据二次项前面的系数正负来判断焦点所在的位置，即项的系数是正的，那么焦点在 x轴上；项的系数是正的，那么焦点在y 轴上。

四、例题讲解

例1、  判断下列方程是否表示双曲线.如果是并求出相应的a,b,c

① 方程：② 方程：③方程：

例2、  已知双曲线的焦点为( －5 ， 0 )，( 5 ， 0 )，双曲线上一点P到、的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.

练习：(1)求满足下列条件的双曲线标准方程

①a=5,b=4且焦点在x轴上.

②a=4,c=6且焦点在y轴上.

③a=3,焦点坐标是(0,-5)和(0,5).

（2）已知两定点F1(-5,0),F2(5,0)，平面上一动点P，PF1－PF2= 6，

求点P的轨迹方程.

思考题 :

已知方程表示双曲线，求m的取值范围.

五、课时小结

（1）双曲线的定义 （与椭圆的区别）

（2）双曲线标准方程 （两种形式）

（3）双曲线焦点位置的判断 （与椭圆的区别）

（4）双曲线中a 、b、 c的关系（与椭圆的区别）（片）

六、课后作业

一、教材分析

1、教材地位

本节课是新课程人教A版选修2-1 第2章 第三节第一课时。它是在学生学习了直线、圆和椭圆的基础上进一步研究学习的，也为后面的抛物线及其标准方程做铺垫。

2、教材作用（重要模型，数形结合）

圆锥曲线是一个重要的几何模型，有许多几何性质，这些性质在日常生活、生产和科学技术中有着广泛的应用。同时，圆锥曲线也是体现数形结合思想的重要素材。

3、设计理念：体现素质教育的要求和新课程理念，融合”知识与技能”、”过程与方法”、”情感态度与价值观”三维教学目标，利用学校博客平台进行网络教学，突出课堂教学的互动性、思考性、有效性和创新性。注重学生学习过程的体验，体现自主、合作、探究的学习方式；注重数学基本能力的培养和基础知识的掌握，又注重数学思想与方法的教育，同时反映数学学科前沿以及与科学、技术、社会的联系；教学过程中体现过程性评价对学生发展的作用，体现教师的有效指导作用。

二、目标分析

1、知识与技能目标

①理解双曲线的定义。

②能根据已知条件求双曲线的标准方程。

③进一步感受曲线方程的概念，了解建立曲线方程的基本方法。

2、过程与方法目标

①提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力。

②培养学生利用数形结合这一思想方法研究问题。

③培养学生的类比推理能力、观察能力、归纳能力、探索发现能力。

3、情感、态度与价值观目标

①亲身经历双曲线及其标准方程的获得过程，感受数学美的熏陶。

②通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨。

③养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度。

4、重点难点

基于以上分析，我将本课的教学重点、难点确定为：

①重点：感受建立曲线方程的基本过程，掌握双曲线的标准方程及其推导方法。

②难点：双曲线的标准方程的推导。

三、学情分析

1、知识方面：学生已经学习直线、圆和椭圆，基本掌握了求曲线方程的一般方法，能对含有两个根式的方程进行化简，对数形结合、类比推理的思想方法有一定的体会。

2、能力方面：学生对基本的计算机操作较为熟练、有一定的学习基础和分析问题、解决问题的能力，且有一定的群体性小组交流能力与协同讨论学习能力。

四、教法学法分析

在教法上，主要采用探究性教学法和启发式教学法。探究性学习就是充分利用了青少年学生富有创造性和好奇心，敢想敢为，对新事物具有浓厚的兴趣的特点。让学生根据教学目标的要求和题目中的`已知条件，自觉主动地创造性地去分析问题、讨论问题、解决问题。

启发式教学法就是以启发、引导为主，采用设疑的形式，逐步让学生进行探究性的学习。通过创设情境，充分调动学生已有的学习经验，让学生经历“观察——猜想——证明——应用”的过程，发现新的知识，把学生的潜意识状态的好奇心变为自觉求知的创新意识。又通过实际操作，使刚产生的数学知识得到完善，提高了学生动手动脑的能力和增强了研究探索的综合素质。

新课程倡导“自主、合作、探究”学习，引导学生自主探索、发现知识；通过设计问题，以支撑学生积极的学习活动，帮助他们成为学习活动的主体；创设真实的问题情境，诱发他们进行探索与解决问题。并注意培养学生的动手实践能力。

五、说教学过程

教学环节

教学过程

设计意图

复习引入

心理学强调，学习是在已有认知结构基础上展开的、让学生利用自己的原有的认识结构中相关的知识与经验，自主地在教师的引导下促进对新知识的建构。这一环节既可以使学生温故而知新，也为后面的学习做好铺垫。

双曲线的定义

通过课本的实验探究（以动画形式展示），引入双曲线的定义：平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的集合。

符号表示：（）

其中：焦点——；焦距——（设为）；

设常数

思考：

1、去掉“绝对值”后，点M的轨迹为什么？（用动画展示）

2、若常数，则点M的轨迹是什么？（用动画展示）

1、建构主义理论认为，学习是学生积极主动地建构知识的过程，因此，应该让学生在具体的问题情境中经历知识的形成和发展，将实际问题抽象为数学模型，并进行解释与运用的过程。课堂教学的关键是要激发学生的求知欲，让学生主动参与，发现学习。

2、通过设问，把学生逐步引入问题情景中，通过师生互动等形式，让学生在问题中学会思考，学会学习，最终使问题得以解决。同时，问题具有一定的梯度，对学生的思考有一定的引导和启发作用。

双曲线的标准方程：

1、复习求曲线方程的一般步骤：建系、设点——列式——化简——检验。

2、推导焦点在x轴和y轴上的双曲线的标准方程。

学生分成两大组，一组推导焦点在x轴上的’双曲线的标准方程，另一组推导焦点在y轴上的双曲线的标准方程，最后交换结论。

3、比较两种标准方程。

两点说明：①关系：②如何判断焦点的位置：看前的系数的正负，哪一项为正，则在相应的轴上。（口诀：焦点看正负！）

1、在比较如何化简方程简单后，我选择放手让学生化简，让学生体验化简方程的艰辛，经受锻炼，尝试成功，提高学生参与教学过程的积极性。

2、在得到双曲线的标准方程之后，我和学生共同总结推导双曲线标准方程的步骤，其目的是进一步强化求曲线方程的一般步骤，同时也让学生享受成功的喜悦。

3、体现类比推理的思想。培养学生归纳总结和类比推理的能力。

4、在推导过程中我令，一是为了美化方程，使方程具有对称性，二是为后面几何性质的学习做铺垫。

例题解析：

例1的教学是为了让学生清楚：求双曲线的焦点坐标（或者是方程当中的），必须要把方程化为标准方程。

通过例2让学生明白，求双曲线的标准方程主要是确定两个要素：一是双曲线的位置，由焦点来决定；二是双曲线的形状，由来决定。

例3是双曲线的实际应用，关键是利用双曲线的定义来解题，要注意焦点的位置。

课堂小结：

为了让学生建构自己的知识体系，我让学生自己概括所学的内容。我认为这样既能培养了学生的概括能力，又能营造民主和谐的师生关系。

在线测试：

通过学校的网络平台，让学生及时巩固基础知识，同时也可以了解全班同学的答题情况。教师进行点评。

及时了解学生的掌握情况。

作业布置：

上交：人教版高中数学选修2–1

P61 习题2、3 A组 第2，5题和B组第2题

不交：第2课堂2、3、1双曲线及其标准方程

进一步巩固本节课所学内容

六、板书设计

一、双曲线的定义

二、双曲线的标准方程

1、焦点在x轴上。2、焦点在y轴上。

三、例题解析

例1

例2

例3

我选择这样的板书设计，其目的是让学生清楚的认识到本节课的重要内容。

七、评价设计

本课最大的特点是：

（1）课堂上能充分利用网络资源。例如：利用几何画板和flash画椭圆让学生动手操作，感受事物发生的过程。许多丰富有趣的学习活动，使学生真正地成为学习的主人。

（2）在教学过程中，我有梯度地提出问题。让全体学生主动参与讨论全过程，问题的提出是一个紧扣着另一个，学生按照我的引导，一步步得出最后的结论，使得学生的学习积极性得到的充分调动。

（3）通过在线测试检查学生对这节课的掌握情况，在得到学习情况的反馈后，我及时给予解决，取得很好的效果。

作为教师，在课堂教学中我始终牢记：学生是学习的主体，学生是课堂的主体；教师只是课堂教学活动的组织者、引导者和合作者。因此，在引导学生从实验探究得出双曲线的定义，类比椭圆的标准方程的推导得出双曲线的标准方程，例题讲解的过程中，我始终把自己摆在组织者、引导者、合作者的立场上，让学生自己通过实践、探究、归纳、分析、总结等活动进行学习，培养了学生读图能力、归纳总结能力、解决问题能力。

本节课采用“网络环境下数学课任务型教学模式”的教学方式，让学生在自主、合作、探究学习。教学目标明确，重点突出，难点突破，教学容量较大，课堂教学设计合理，在教学过程中，能激发学生的求知欲，能注意培养学生的动手操作能力，引导学生学会学习、主动学习，利用在线测试边讲边练习进行教学，让学生得到及时的巩固，在关键的重点让学生进行讨论发现，使得学生在学习数学的过程中，获得再发现、再创造的感受。

一、教材分析与处理

（一）教材的地位与作用

学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步深化和提高。如果双曲线研究的透彻、清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章。所以说本节课的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向为双曲线的简单性质的学习打下基础。

（二）学生状况分析

学生在学习本节课之前，已掌握了椭圆的定义和标准方程，也曾经尝试过探究式的学习方式，所以说从知识和学习方式上来说学生已具备了自行探索和推导方程的基础。另外，高二学生思维活跃，敢于表现自己，不喜欢被动地接受别人现成的观点，但同时也缺乏发现问题和提出问题的意识。

根据以上对教材和学生的分析，考虑到学生已有的认知规律，我希望学生能达到以下三个教学目标。

（三）教学目标

1、知识与技能：理解双曲线的定义并能立推导标准方程；

2、过程与方法：通过定义及标准方程的挖掘与探究 ，使学生进一步体验类比、数形结合等思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力；

3、情感态度与价值观：通过教师指导下的学生交流探索活动，激发学生的学习兴趣，培养学生用联系的观点认识问题。

（四）教学重点、难点依据教学目标，根据学生的认知规律，确定本节课的重点为理解和掌握双曲线的定义及其标准方程。

难点为双曲线标准方程的推导。

（五）教材处理

我对教学内容作了一点调整：教材中是借用细绳画出的双曲线图形，而我改用几何画板画出双曲线图形。因为相比之下，几何画板更为形象直观。通过几何画板，学生不仅可看到双曲线形成的过程，而且较易看出椭圆与双曲线的联系和区别。

二、教学方法与教学手段

（一）教学方法

著名数学家波利亚认为：“学习任何东西最好的途径是自己去发现。”双曲线的定义和标准方程与椭圆很类似，学生已经有了一些学习椭圆的经验，所以本节课我采用了“启发探究”式的教学方式。

重点突出以下两点：

1、以类比思维作为教学的主线

2、以自主探究作为学生的学习方式

（二）教学手段

采用多媒体辅助教学，体现在用几何画板画双曲线。但不是单纯用动画给学生看，而是通过动画启发引导学生进行思考，调动学生学习的积极性。

三、教学过程与设计

为达到本节课的教学目标，更好地突出重点，分散难点，我将教学过程分为四个阶段。

（一） 知识引入—- 知识回顾、观察动画、概括定义在课的开始我设置了这样几个问题，以帮助学生进行知识回顾：

1、椭圆的第一定义是什么？定义中哪些字非常关键？

2、椭圆的标准方程是什么？

3、如何判断焦点位置？a、b、c是何种关系？

通过回顾，既检测了学生对前面知识的掌握情况，同时又为下面双曲线的学习做好铺垫。之后，告诉学生：今天要学习一种新的曲线。打开几何画板，首先通过动画让学生再一次回顾椭圆的生成过程，然后改变图中的条件，将F1，F2距离变大，动画生成一种新的曲线，学生易看出该曲线为双曲线。双曲线的定义其实就是动点所满足的关系，那么双曲线的定义是什么？也就是动点所满足的关系是什么？这个问题可让学生进行探究。解决这个问题有两个难点：一是距离的运算关系的得出；二是运算关系的简化。在探究中，学生类比椭圆会想到动点到两定点的距离差为定值，会认为这个定值必是正值，而会忽视距离差为负值的情况，其实这只能得到双曲线的一支。对于这种情况，我会采取启发引导，把P从一支移到另一支，然后让学生再次思考自己得到的关系是否正确。在引导下，学生会想到动点到两定点的距离差为正值或正值的相反数。但这个关系能不能加以简化？学生这个时候会联想到可利用绝对值进行简化。这样就得到了动点所满足的较为精炼的关系，也就是得到了双曲线的定义。这一设计让学生先形象直观地看到椭圆与双曲线的形成过程，在此基础上，再通过教师的引导，生就可在观察思考中一步一步地由感性认识上升到理性认识，最终得到双曲线定义，从而培养了学生的观察能力及概括能力。另外，这一设计也在形的方面实现了椭圆与双曲线的比较，也为下面双曲线定义的挖掘及两种曲线的对比打下基础。随着双曲线定义的得出，教学进入第二阶段—知识探索

（二） 知识探索—- 定义的挖掘、标准方程的推导、方程的对比

1、定义的挖掘

在这一环节中，我们要认识到定义中的绝对值和两点间距离与常数的大小关系二者对曲线的影响。

首先，我设置了这样两个问题：

（1）类比椭圆寻找双曲线定义中的关键字；

（2）若分别去掉这几个关键字曲线会发生怎样变化？

一、说教材分析

1.教材背景

作为曲线内容学习的开始，“曲线与方程”这一小节思想性较强，约需三课时，第一课时介绍曲线与方程的概念；第二课时讲曲线方程的求法；第三课时侧重对所求方程的检验。

本课为第二课时

主要内容有：解析几何与坐标法；求曲线方程的方法（直译法）、步骤及例题探求。

2.本课地位和作用

承前启后，数形结合

曲线和方程，既是直线与方程的自然延伸，又是圆锥曲线学习的必备，是后面平面曲线学习的理论基础，是解几中承上启下的关键章节。

“曲线”与“方程”是点的轨迹的两种表现形式。“曲线”熟迹的几何形式，“方程”熟迹的代数形式；求曲线方程是用方程研究曲线的先导，是解析几何所要解决的两大类问题的首要问题。体现了坐标法的本质——代数化处理几何问题，是数形结合的典范。

后继性、可探究性

求曲线方程实质上就是求曲线上任意一点（x，y）横纵坐标间的等量关系，但曲线轨迹常无法事先预知类型，通过多媒体演示可以生动展现运动变化特点，但如何获得曲线的方程呢？通过创设情景，激发学生兴趣，充分发挥其主体地位的作用，学习过程具有较强的探究性。

同时，本课内容又为后面的轨迹探求提供方法的准备，并且以后还会继续完善轨迹方程的求解方法。

数学建模与示范性作用

曲线的方程是解析几何的核心。求曲线方程的过程类似于数学建模的过程，它贯穿于解析几何的始终，通过本课例题与变式，要总结规律，掌握方法，为后面圆锥曲线等的轨迹探求提供示范。

数学的文化价值

解析几何的发明是变量数学的第一个里程碑，也是近代数学崛起的两大标志之一，是较为完整和典型的重大数学创新史例。解析几何创始人特别是笛卡儿的事迹和精神——对科学真理和方法的追求、质疑的科学精神等都是富有启发性和激励性的教育材料。可以根据学生实际情况，条件允许时指导学生课后收集相关资料，通过分析、整理，写出研究报告。

3.学情分析

我所授课班级的学生数学基础比较好，思维活跃，在刚刚学习了“曲线的方程和方程的曲线”后，学生对这种必须同时具备纯粹性和完备性的概念有了初步的认识，对用代数方法研究几何问题的科学性、准确性和优越性等已有了初步了解，对具体（平面）图形与方程间能否对应、怎样对应的学习已经有了自然的求知欲望。

二、说目标分析

1.教学目标

知识技能目标

理解坐标法的作用及意义。

掌握求曲线方程的一般方法和步骤，能根据所给条件，选择适当坐标系求曲线方程。

过程性目标

通过学生积极参与，亲身经历曲线方程的获得过程，体验坐标法在处理几何问题中的优越性，渗透数形结合的数学思想。

通过自主探索、合作交流，学生历经从“特殊——一般——特殊”的认知模式，完善认知结构。

通过层层深入，培养学生发散思维的能力，深化对求曲线方程本质的理解。

情感、态度与价值观目标

通过合作学习，学生间、师生间的相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，逐步养成质疑的科学精神。

展现人文数学精神，体现数学文化价值及其在在社会进步、人类文明发展中的重要作用。

2.教学重点和难点

重点：求曲线方程的方法、步骤

难点：几何条件的代数化

依据：求曲线方程是解几研究的两大类问题之一，既是重点也是难点，是高考解答题取材的源泉。主要包括两种类型求曲线的方程：一是已知曲线形状时常用待定系数法；二是动点轨迹方程探求，本课的重点主要是探索动点的曲线方程。

曲线与方程梳穿平面解几的知识，是解析几何的核心。求曲线方程是几何问题得以代数研究的先决，求曲线方程的过程类似数学建模的.过程，是课堂上必须突破的难点。

三、说教学方法及教材处理

1.教学方法：探究发现教学法。

遵循以学生为主体，教师为主导，发展为主旨的现代教育原则，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，通过学生主动探索、积极参与、共同交流与协作，在教师的引导和合作下，学生“跳一跳”就能摘得果实，于问题的分析和解决中实现知识的建构和发展，通过不断探究、发现，让学习过程成为心灵愉悦的主动认知过程，使师生的生命活力在课堂上得到充分的发挥。

2.学法指导

学生学法：互相讨论、探索发现

由于学生在尝试问题解决的过程中常会在新旧知识联系、策略选择、思想方法运用等方面遇到一定的困难，需要教师指导。作为学生活动的组织者、引导者、参与者，教师要帮助学生重温与问题解决有关的旧知，给予学生思考的时间和表达的机会，共同对（解题）过程程进行反思等，在师生（生生）互动中，给予学生启发和鼓励，在心理上、认知上予以帮助。

这样，在学法上确立的教法，能帮助学生更好地获得完整的认知结构，使学生思维、能力等得到和谐发展。

3.设计理念：

求曲线方程就是将曲线上点的几何表示形式转化为代数表示形式。在这转化过程中，学生通过积极参与、勇于探索的学习方式，让学生的学习过程成为教师指导下的再创造，这也正是建构主义理论的本质要求；遵循学生认知规律，尊重学生个体差异，立足教材，通过对例题的再创造，体现理论联系实际、循序渐进和因材施教的教学原则，让不同层次的学生得到不同层度的发展；通过激发兴趣，强调自主探索与合作交流，让学生逐步地从学会走向会学，由被动走向主动，由课堂走向社会，为学生的终身学习和终身发展奠定良好的基础，也是当前新课程所追求的基本理念。

四、说教学过程

根据本课教学内容几何特性外化的特点，抓住形成轨迹的动点具备的几何条件，运用坐标化的手段及等价转化与数形结合的思想方法，突破难点，突出重点。本课的教学设计思路是：

创设情景——从感性的轨迹（图形）认识，到解决生活上的实例，激发学生的求知欲望，抓住学生迫切一试的认知心理，自然引入坐标法的意义及曲线方程的求法。

例题探求——例题一体现知识的承前启后。通过例题一的呈现，学生借助已有的知识经验，自主探求获得问题的求解，在教师的引导下，让学生感受求曲线方程的含义及求解步骤；例题二及变式解决建系难点，建系的开放性，对学生是一种挑战，也是一种创造；两个例归纳步骤——学生亲身经历求曲线方程的过程，让学生归纳（用自己的语言）、表述求解的步骤，体现从“特殊——一般”认知规律，逐步实现教学目标。

变式练习——通过对例题的变式，由学生求解、回答变式后的含义，深化对认知结构的理解，初步体会数学的理性与严谨，逐步养成质疑与反思的习惯。

反馈练习——利用学生探索而发展来的认知水平，运用获得的知识解决情景创设中的实际问题，一方面可以考察学生运用所学数学知识解决实际问题的意识和能力；另一方面是学生思维的自然顺应，自然释放，是“一般——特殊”的过程。

一、课前预习目标

理解并掌握双曲线的几何性质，并能从双曲线的标准方程出发，推导出这些性质，并能具体估计双曲线的形状特征.

二、预习内容

1、双曲线的几何性质及初步运用.

类比椭圆的几何性质.

2.双曲线的渐近线方程的导出和论证.

观察以原点为中心，2a、2b长为邻边的’矩形的两条对角线，再论证这两条对角线即为双曲线的渐近线.

三、提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

课内探究

1、椭圆与双曲线的几何性质异同点分析

2、描述双曲线的渐进线的作用及特征

3、描述双曲线的离心率的作用及特征

4、例、练习尝试训练：

例1.求双曲线9y2-16×2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.

解：

解：

5、双曲线的第二定义

1).定义(由学生归纳给出)

2).说明

(七)小结(由学生课后完成)

将双曲线的几何性质按两种标准方程形式列表小结.

作业：

1.已知双曲线方程如下，求它们的两个焦点、离心率e和渐近线方程.

(1)16×2-9y2=144;

(2)16×2-9y2=-144.

2.求双曲线的标准方程：

(1)实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上;

(2)焦距是10，虚轴长是8，焦点在y轴上;

曲线的方程.

点到两准线及右焦点的距离.

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