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f^{'}(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

{1.(e^{x})^{'}=e^{x} \\2.(\ln x)^{'}=\frac{1}{x} \\3.(log_a x)^{'}=\frac{1}{x\cdot\ln a} \\4.(a^x)^{'}=a^x\cdot \ln a \\5.(x^n)^{'}=n\cdot x^{n-1}\quad x\in N^{*} \\6.(x^n)^{'}=n\cdot x^{n-1}\quad x\in R \\7.(\sin x)^{'}=\cos x \\8.(\cos x)^{'}=-\sin x}

以上是最重要的几个函数及其导函数，一般能记得公式足矣。

下面给出一些简单的推导，可以看看加深理解。

1.e^x

这是一个神奇的函数，它的导数等于它本身，通过这个函数，可以推出很多函数的导函数。

但高中对 e 的研究很少，使得在高中阶段这个函数的求导不好直接证明。需要一定的高数知识。

这里我利用一个 e 的表达式来推导 e^x 的导数： e=\lim_{x \rightarrow0} (1+x)^{\frac{1}{x}}

{(e^x)^{'} \\=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{e^{x+\Delta x}-e^{x}}{\Delta x} \\=\lim_{\Delta x\rightarrow0}e^x\cdot \frac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x}}

令 t=e^{\Delta x}-1 , 得到 \ln (t+1)=\Delta x

{(e^x)^{'} \\=\lim_{\Delta x\rightarrow0}e^{x}\cdot\frac{t}{\ln (t+1)} \\=\lim_{\Delta x\rightarrow0}e^x\cdot \frac{1}{\frac{1}{t}\cdot \ln(t+1)} \\=\lim_{\Delta x\rightarrow0}e^x\cdot \frac{1}{\ln(t+1)^\frac{1}{t}}}

当 \Delta x\rightarrow0 时 t=e^{\Delta x}-1\rightarrow0 ，所以

{(e^x)^{'} \\=e^x\cdot \frac{1}{\ln e} \\=e^x}

2. \ln x

这个函数同样要利用到 e=\lim_{x \rightarrow0} (1+x)^{\frac{1}{x}} 来求导。

{(\ln x)^{'} \\=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\ln(x+\Delta x)-\ln x}{\Delta x} \\=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\ln(x\cdot(1+\frac{\Delta x}{x}))-\ln x}{\Delta x} \\=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\ln(1+\frac{\Delta x}{x})+\ln x-\ln x}{\Delta x} \\=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{ln(1+\frac{\Delta x}{x})}{\Delta x} \\=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{1}{x}\cdot \frac{ln(1+\frac{\Delta x}{x})}{\frac{\Delta x}{x}} \\=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{1}{x}\cdot \ln(1+\frac{\Delta x}{x})^{\frac{x}{\Delta x}} \\=\frac{1}{x}\cdot \ln e \\=\frac{1}{x}}

3. log_a x

这个函数求导将用到换底公式 log_a x=\frac{\ln x}{\ln a} ，以及 \ln x 导函数的性质。

{(log_ax)^{'} \\=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{log_a(x+\Delta x)-log_ax}{\Delta x} \\=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\log_a(x\cdot(1+\frac{\Delta x}{x}))-\log_a x}{\Delta x} \\=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\log_a(1+\frac{\Delta x}{x})+\log_a x-\log_a x}{\Delta x} \\=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{1}{x}\cdot \frac{log_a(1+\frac{\Delta x}{x})}{\frac{\Delta x}{x}} \\=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{1}{x}\cdot \frac{\ln(1+frac{\Delta x}{x})}{\frac{\Delta x}{x}} \\=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{1}{x}\cdot \frac{\ln(1+\frac{\Delta x}{x})}{\frac{\Delta x}{x}\cdot \ln a} }

\frac{\ln (1+\frac{\Delta x}{x})}{\frac{\Delta x}{x}} 当 \Delta x\rightarrow0 时，等于 (\ln 1)^{'}=1 ，所以

(log_a x)^{'}=\frac{1}{x\cdot\ln a}

4. a^x

{(a^x)^{'} \\=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x} \\=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}a^x\cdot \frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x} }

令 t=a^{\Delta x}-1 , log_a (t+1)=\Delta x

{(a^x)^{'} \\=\lim_{\Delta x\rightarrow0}a^x\cdot \frac{t}{log_a (t+1)} \\=\lim_{\Delta x\rightarrow0}a^x\cdot \frac{t\cdot\ln a}{\ln (t+1)} }

当 \Delta x\rightarrow0 时 t\rightarrow 0 , \frac{t}{\ln (t+1)} 是 \ln x 在 x=1 处导数的倒数。所以，

(a^x)^{'}=a^x\cdot \ln a

5. x^n\quad x\in N^*

它的导函数的推导将用到二项式定理： (a+b)^n=\sum_{r=0}^n C_n^r \cdot a^{n-r}\cdot b^r

{(x^n)^{'} \\=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{(x+\Delta x)^n-x^n}{\Delta x} \\=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\sum_{r=0}^nC_n^r\cdot x^{n-r}\cdot \Delta x^r-x^n}{\Delta x} \\=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\sum_{r=1}^nC_n^r\cdot x^{n-r}\cdot \Delta x^r}{\Delta x} \\=\lim_{\Delta x\rightarrow0}{\sum_{r=1}^nC_n^r\cdot x^{n-r}\cdot \Delta x^{r-1}} \\=\lim_{\Delta x\rightarrow0}C_n^1\cdot x^{n-1}+{\sum_{r=2}^nC_n^r\cdot x^{n-r}\cdot \Delta x^{r-1}} \\=n\cdot x^{n-1} }

6. x^n\quad x\in R

如果把x扩充到实数域，依旧是成立的。

{(x^n)^{'} \\=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{(x+\Delta x)^n-x^n}{\Delta x} \\=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{[x\cdot(1+\frac{\Delta x}{x})]^n-x^n}{\Delta x} \\=\lim_{\Delta x\rightarrow0}x^n\cdot\frac{(1+\frac{\Delta x}{x})^n-1}{\Delta x} \\=\lim_{\Delta x\rightarrow0}x^{n-1}\cdot\frac{(1+\frac{\Delta x}{x})-1}{\frac{\Delta x}{x}} \\=\lim_{\Delta x\rightarrow0}x^{n-1}\cdot\frac{(1+\frac{\Delta x}{x})^n-1}{log_a (1+\frac{\Delta x}{x})}\cdot\frac{log_a (1+\frac{\Delta x}{x})}{\frac{\Delta x}{x}}}

令 t=(1+\frac{\Delta x}{x})^n-1 ,

\Rightarrow\quad log_a(t+1)=n\cdot log_a(1+\frac{\Delta x}{x})\quad\Rightarrow\quad{log_a(1+\frac{\Delta x}{x})}=\frac{log_a(t+1)}{n}所以

{(x^n)^{'} \\=\lim_{\Delta x\rightarrow0}x^{n-1}\cdot\frac{t}{\frac{log_a(t+1)}{n}}\cdot\frac{log_a(1+\frac{\Delta x}{x})}{\frac{\Delta x}{x}} \\=\lim_{\Delta x\rightarrow0}n\cdot x^{n-1}\cdot\frac{t}{{log_a(t+1)}}\cdot\frac{log_a(1+\frac{\Delta x}{x})}{\frac{\Delta x}{x}} }

当 \Delta x\rightarrow0 时 t\rightarrow0 ,可认为：

\frac{t}{log_a(t+1)}=\frac{1}{(log_a1)^{'}} ， \frac{log_a(1+\frac{\Delta x}{x})}{\frac{\Delta x}{x}}=(log_a1)^{'} ，所以

(x^n)^{'}=n\cdot x^{n-1}\quad x\in R

7. \sin x

想要求这个函数的导函数，需要先了解一个重要的极限式 \lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{sin \Delta x}{\Delta x}=1

当 x\in(0,\frac{\pi}{2}) 时，看看下面的三角函数图，我们尝试证明这个极限式。

根据弧度制当 \alpha=x 时 GH=\sin x ， GE=x ， FE=\tan x

显然： \sin x\leq x\leq\tan x

由 \sin x\leq x 得 \frac{\sin x}{x}\leq1 ，由 x\leq\tan x 得 \frac{\sin x}{x}\geq\cos x

当 x\rightarrow0 时 \cos x\rightarrow 1

得到： 1\leq\frac{\sin x}{x}\leq1 ，

即得证 \lim_{x\rightarrow0}\frac{sin x}{x}=1

得到上述极限式，再结合三角函数和差化积的公式即可。

和差化积公式：

{\sin\alpha-\sin\beta=2\cdot\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \\\sin\alpha+\sin\beta=2\cdot\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\sin\frac{\alpha-\beta}{2} \\\cos\alpha+\cos\beta=2\cdot\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \\\cos\alpha-\cos\beta=-2\cdot\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\sin\frac{\alpha-\beta}{2} }

{(\sin x)^{'} \\=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\sin(x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x} \\=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{2\cdot\cos(\frac{x+\Delta x+x}{2})\cdot\sin(\frac{x+\Delta x-x}{2})}{\Delta x} \\=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\cos(x+\frac{\Delta x}{2})\cdot\sin(\frac{\Delta x}{2})}{\frac{\Delta x}{2}} \\=\cos x }

7. \cos x

{(\cos x)^{'} \\=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\cos(x+\Delta x)-\cos x}{\Delta x} \\=\lim_{\Delta x\rightarrow0}-\frac{2\cdot\sin(\frac{x+\Delta x+x}{2})\cdot\sin(\frac{x+\Delta x-x}{2})}{\Delta x} \\=\lim_{\Delta x\rightarrow0}-\frac{\sin(x+\frac{\Delta x}{2})\cdot\sin(\frac{\Delta x}{2})}{\frac{\Delta x}{2}} \\=-\sin x }

1. [f(x)\pm g(x)]^{'}=f(x)^{'}\pm g(x)^{'}

2.[f(x)\cdot g(x)]^{'}=f(x)^{'}\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{'}(x)

3.[\frac{f(x)}{g(x)}]^{'}=\frac{f^{'}(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{'}(x)}{g^{2}(x)}

前导后不导，后导前不导可以当做乘法法则和除法法则的记忆口诀，注意加减号。

以下给出上面三个法则的推导

{1.[f(x)+g(x)]^{'}\\=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)+g(x+\Delta x)-f(x)-g(x)}{\Delta x} \\=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}+\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x} \\=f(x)^{'}+g(x)^{'}\\} {2.[f(x)\cdot g(x)]^{'} \\=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)\cdot g(x+\Delta x )-f(x)\cdot g(x)}{\Delta x} \\=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)\cdot g(x+\Delta x)-g(x)\cdot f(x+\Delta x)+g(x)\cdot f(x+\Delta x)-f(x)\cdot g(x)}{\Delta x} \\=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)\cdot[g(x+\Delta x)-g(x)]+g(x)\cdot[f(x+\Delta x)-f(x)])}{\Delta x} \\=f(x)^{'}\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{'}(x) \\} {3.[\frac{f(x)}{g(x)}]^{'} \\=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\frac{f(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{\Delta x} \\=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x+\Delta x)}{\Delta x\cdot g(x+\Delta x)\cdot g(x)} \\=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)\cdot g(x)-g(x+\Delta x)\cdot f(x+\Delta x)+g(x+\Delta x)\cdot f(x+\Delta x)-f(x)\cdot g(x+\Delta x)}{\Delta x\cdot g(x+\Delta x)\cdot g(x)} \\=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)\cdot[g(x)-g(x+\Delta x)]+g(x+\Delta x)\cdot [f(x+\Delta x)-f(x)]}{\Delta x\cdot g(x+\Delta x)\cdot g(x)} \\=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{g(x+\Delta x)\cdot [f(x+\Delta x)-f(x)]-f(x+\Delta x)\cdot[g(x+\Delta x)-g(x)]}{\Delta x\cdot g(x+\Delta x)\cdot g(x)} \\=\frac{f^{'}(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{'}(x)}{g^{2}(x)}}还可以尝试对数求导法证明上面的公式，以 [\frac{f(x)}{g(x)}]^{'} 为例。

令 y=[\frac{f(x)}{g(x)}]

两边同取 e 的对数得： \ln y=ln [\frac{f(x)}{g(x)}]\quad,\quad\ln y=\ln f(x)-\ln g(x)

两边同时求导： \frac{1}{y}\cdot y^{'}=\frac{f^{'}(x)}{f(x)}-\frac{g^{'}(x)}{g(x)}

然后： y^{'}=[\frac{f^{'}(x)}{f(x)}-\frac{g^{'}(x)}{g(x)}]*y\quad,\quad y^{'}=[\frac{f^{'}(x)}{f(x)}-\frac{g^{'}(x)}{g(x)}]\cdot [\frac{f(x)}{g(x)}]

得证： y^{'}=\frac{f^{'}(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{'}(x)}{g^{2}(x)}

如果你想求导多个函数乘积，不妨试试对数求导法。

对于一个复合函数，如 h(x)=f(g(x))

如果它可导，则 h^{'}(x)=f^{'}(g(x))\cdot g^{'}(x)

如果有多个函数嵌套在一起，你只需要一层层递归下去用基本函数的求导公式乘在一起即可。

那，如何理解这个链式法则？

我们先用一个例子直观感受一下。

假如说 x 变大 \Delta x 时, g(x) 变大 3 倍， g(x) 变大 \Delta x 时, f(g(x)) 变大 4 倍。

那么当 x 变大 \Delta x 时， f(g(x)) 就变大 3\times 4=12 倍。

如果当 \Delta x\rightarrow0 呢？

把上面的数字换成相应的导数，也就得到了 f^{'}(g(x))=f^{'}(g(x))\cdot g^{'}(x)

如果你觉得不够，下面给出稍微严谨一点的证明。

{[f(g(x))]^{'} \\=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(g(x+\Delta x))-f(g(x))}{\Delta x} \\=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(g(x+\Delta x))-f(g(x))}{g(x+\Delta x)-g(x)}\cdot\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x} \\=f^{'}(g(x))\cdot g^{'}(x)}

完。

公式编辑快写到吐了...