换底公式的两种证明⽅法

换底公式的两种证明⽅法

  换底公式是⼀个⽐较重要的

.

公式，在很多对数的计算中都要使⽤，也是⾼中数学的重点。另有两个推论。

loga(b)

表⽰以

a

为底的

b

的对数。

  换底公式⼀：

log(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a)(a,c

均⼤于零且不等于

1)

  推导过程

  若有对数

log(a)(b)

设

a=n^x,b=n^y(n>0,

且

n

不为

1)

如：

log(10)(5)=log(5)(5)/log(5)(10)

  则

log(a)(b)=log(n^x)(n^y)

  根据对数的基本公式

log(a)(M^n)=nloga(M)

和基本公式

log(a^n)M=1/n×log(a)M

  易得

log(n^x)(n^y)=ylog(n^x)(n)=y/xlog(n)(n)=y/x

  由

a=n^x,b=n^y

可得

x=log(n)(a),y=log(n)(b)

  则有：

log(a)(b)=log(n^x)(n^y)=log(n)(b)/log(n)(a)

  得证：

log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a)

  例⼦：

log(a)(c)*log(c)(a)=log(c)(c)/log(c)(a)*log(c)(a)=log(c)(c)=1

  公式⼆：

log(a)(b)=1/log(b)(a)

  证明如下：

  由换底公式

log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a)----

取以

b

为底的对数

log(b)(b)=1=1/log(b)(a)

还可变形得

:log(a)(b)×log(b)(a)=1

换底公式的两种证明⽅法