\(\mathbf{{\large {\color{Red} {欢迎到学科网下载资料学习}} } }\)【高分突破系列】 高二数学下学期同步知识点剖析精品讲义！ \(\mathbf{{\large {{\color{Red} {跟贵哥学数学，so \quad easy！}} }}}\)

选择性必修第三册同步提高，难度3颗星！

1 随机变量 ① 概念 一般地，对于随机试验样本空间\(Ω\)中每个样本点\(ω\)，都有唯一的实数\(X(ω)\)与之对应，我们称\(X\)为随机变量.  

② 分类 随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量. \({\color{Red}{ Eg }}\) 投掷一个骰子，得到的点数为\(X\)，它是离散型随机变量，能够一一列举出来； 一人一天摄取的卡路里\(Y\)，它是连续型随机变量.  

2 分布列 ① 概念 一般地，设离散型随机变量X可能取的值为\(x_1\) ,\(x_2\) ,⋯ ,\(x_i\) ,⋯ ,\(x_n\)，\(X\)取每一个值\(x_i\)\((i=1 ,2 ,⋯ ,n)\)的概\(率P(X=x_i)=p_i\)，则称以下表格 为随机变量\(X\)的概率分布列，简称\(X\)的分布列.  

② 性质 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质 \((1) P_i≥0 ,i=1 ,2 ,⋯,n\) \(\qquad \qquad\) \((2) p_1+p_2+⋯+p_n=1\)  

3 两点分布 如果随机变量\(X\)的分布列为 则称\(X\)服从两点分布，并称\(p=P(X=1)\)为成功概率.  

1 离散随机变量的均值（数学期望） (1)概念 一般地，随机变量\(X\)的概率分布列为 则称\(E(X)=x_{1} p_{1}+x_{2} p_{2}+\cdots+x_{i} p_{i}+\cdots+x_{n} p_{n}=\sum_{i=1}^{n} x_{i} p_{i}\)为\(X\)的数学期望或均值，简称为期望. 它是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，反映了离散型随机变量取值的平均水平.  

(2)若\(Y=a X+b\)，其中\(a ,b\)为常数，则\(Y\)也是变量 则\(E (Y)=a E(X)+b\)，即\(E(a X+b)=a E(X)+b\).(利用期望的概念可以证明)  

(3)一般地，如果随机变量\(X\)服从两点分布，那么\(E(X)=1× p+0×(1-p)=p\) 即若\(X\)服从两点分布，则\(E(X)=p\).  

2 离散型随机变量取值的方差和标准差 （1）一般地,若离散型随机变量\(X\)的概率分布列为 则称 \(D(X)=\left(x_{1}-E(X)\right)^{2} p_{1}+\left(x_{2}-E(X)\right)^{2} p_{2}+\cdots+\left(x_{n}-E(X)\right)^{2} p_{n}=\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-E(X)\right)^{2} p_{i}\) 为随机变量\(X\)的方差，有时候也记为\(V(x)\)，并称\(\sqrt{D(X)}\)为随机变量\(X\)的标准差，记为\(σ(X)\). 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差越小，随机变量的取值越集中；方差越大，随机变量的取值越分散.  

(2)一般地，\(D(a X+b)=a^2 D(X)\).(可用方差的概念证明)  

(3)\(DX=E(X^2)﹣E^2 (X)\) 证明 \(D(X)=\left(x_{1}-E(X)\right)^{2} p_{1}+\left(x_{2}-E(X)\right)^{2} p_{2}+\cdots+\left(x_{n}-E(X)\right)^{2} p_{n}\) \(\begin{aligned} &=\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-E(X)\right)^{2} p_{i} \\ &=\sum_{i=1}^{n}\left[x_{i}^{2}-2 x_{i} E(X)+E^{2}(X)\right] p_{i} \\ &=\sum_{i=1}^{n}\left[x_{i}^{2} p_{i}-2 x_{i} p_{i} E(X)+E^{2}(X) p_{i}\right] \\ &=\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2} p_{i}-\sum_{i=1}^{n} 2 x_{i} p_{i} E(X)+\sum_{i=1}^{n} E^{2}(X) p_{i} \\ &=E\left(X^{2}\right)-2 E(X) \sum_{i=1}^{n} x_{i} p_{i}+E^{2}(X) \sum_{i=1}^{n} p_{i} \\ &=E\left(X^{2}\right)-2 E(X) \cdot E(X)+E^{2}(X) \cdot 1 \\ &=E\left(X^{2}\right)-E^{2}(X) \end{aligned}\)  

【典题1】设随机变量\(ξ\)的分布列如表： 其中\(a_1\),\(a_2\) ,… ,\(a_6\)构成等差数列，则\(a_1 a_6\)的(　　) A．最大值为\(\dfrac{1}{9}\) \(\qquad \qquad \qquad\) B．最大值为\(\dfrac{1}{36}\) \(\qquad \qquad \qquad\) C．最小值为\(\dfrac{1}{9}\) \(\qquad \qquad \qquad\) D．最小值为\(\dfrac{1}{36}\) 【解析】\(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=1\)，由等差数列的性质可得\(a_{1}+a_{6}=\dfrac{1}{3}\)， 所以\(a_{1} a_{6} \leq\left(\dfrac{a_{1}+a_{6}}{2}\right)^{2}=\dfrac{1}{36}\)， 所以\(a_1 a_6\)的最大值为\(\dfrac{1}{36}\)，无最小值． 故选：\(B\)．  

【典题2】设随机变量\(ξ\)的分布列为\(P\left(\xi=\dfrac{k}{5}\right)=a k(k=1,2,3,4,5)\)，则(　　) A．\(15a=1\) \(\qquad \qquad\)B．\(P(0.5