本节为高等数学复习笔记的第一部分，主要包括：几个特殊的因式分解公式、二项式定理、夹逼准则、单调有界准则、洛必达法则以及几个常见的泰勒展开式的的应用。

  高等数学基础知识也就是高中的数学知识，详细的包括三角函数与反三角函数的图像、性质、特殊值，等差等比数列及其求和方式，三角函数的基本转换关系、诱导公式、倍角/半角公式、和差公式、万能公式、积化和差/和差化积公式等等，此处不再赘述，只对几个重要的因式分解公式做了笔记：

  一个常见的结论的证明， " 若 f ( x ) 同 时 关 于 x = a 和 x = b 对 称 ， 则 f ( x ) = f ( x + T ) ， 且 T = 2 ( b − a ) ， b > a " "若f(x)同时关于x=a和x=b对称，则f(x)=f(x+T)，且T=2(b-a)，{b>a}" "若f(x)同时关于x=a和x=b对称，则f(x)=f(x+T)，且T=2(b−a)，b>a"，证明如下 “ f ( x ) = f ( a − ( a − x ) ) = f ( a + ( a − x ) ) = f ( b − ( b − 2 a + x ) ) = f ( b + ( b − 2 a + x ) ) = f ( 2 ( b − a ) + x ) ， 得 证 ” “f(x)=f(a-(a-x))=f(a+(a-x))=f(b-(b-2a+x))=f(b+(b-2a+x))=f(2(b-a)+x)，得证” “f(x)=f(a−(a−x))=f(a+(a−x))=f(b−(b−2a+x))=f(b+(b−2a+x))=f(2(b−a)+x)，得证”。   一个包含常用对数和e指数互换的手法的简单例题。    求 函 数 y = f ( x ) = l n ( x + x 2 + 1 ) 的 反 函 数 f − 1 ( x ) 的 表 达 式 及 定 义 域 求函数y=f(x)=ln(x+\sqrt{x^2+1})的反函数f^{-1}(x)的表达式及定义域 求函数y=f(x)=ln(x+x2+1 ​)的反函数f−1(x)的表达式及定义域    解 ： y = l n ( x + x 2 + 1 ) ， 则 有 e y = x 2 + 1 + x ； 令 − y = − l n ( x + x 2 + 1 ) ， 则 有 e − y = x 2 + 1 − x 。 两 式 相 减 ， 得 x = 1 2 ( e y − e − y ) ， 则 y = f − 1 ( x ) = 1 2 ( e x − e − x ) ， x ∈ ( − ∞ , ∞ ) 。 解：y=ln(x+\sqrt{x^2+1})，则有e^y=\sqrt{x^2+1}+x；令-y=-ln(x+\sqrt{x^2+1})，则有e^{-y}=\sqrt{x^2+1}-x。两式相减，得x=\frac12(e^y-e^{-y})，则y=f^{-1}(x)=\frac12({e^x-e^{-x}})，x\in(-\infty,\infty)。 解：y=ln(x+x2+1 ​)，则有ey=x2+1 ​+x；令−y=−ln(x+x2+1 ​)，则有e−y=x2+1 ​−x。两式相减，得x=21​(ey−e−y)，则y=f−1(x)=21​(ex−e−x)，x∈(−∞,∞)。

  2.1.关于夹逼准则的一个例题：    e g . l i m ( 1 n 2 + n + 1 + 2 n 2 + n + 2 + . . . + n n 2 + n + n ) = ( ) eg.lim\left(\frac{1}{n^2+n+1}+\frac{2}{n^2+n+2}+...+\frac{n}{n^2+n+n}\right)=() eg.lim(n2+n+11​+n2+n+22​+...+n2+n+nn​)=()    解 ： 令 N = 1 n 2 + n + 1 + 2 n 2 + n + 2 + . . . + n n 2 + n + n ， 则 N ≤ 1 + 2 + . . . + n n 2 + n + 1 = 1 2 ( n + 1 ) n n 2 + n + 1 = 1 2 + 1 n 1 + 1 n + 1 n 2 ， n → ∞ ， 则 N ≤ 1 2 ； N ≥ 1 + 2 + . . . + n n 2 + n + n = 1 2 ( n + 1 ) n n 2 + 2 n = 1 2 + 1 n 1 + 2 n ， n → ∞ ， 则 N ≥ 1 2 。 ∴ l i m n → ∞ N = 1 2 。 解：令N=\frac{1}{n^2+n+1}+\frac{2}{n^2+n+2}+...+\frac{n}{n^2+n+n}，则N\leq \frac{1+2+...+n}{n^2+n+1}=\frac{\frac12(n+1)n}{n^2+n+1}=\frac{\frac12+\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}，n \rightarrow \infty，则N\leq \frac12；N\geq \frac{1+2+...+n}{n^2+n+n}=\frac{\frac12(n+1)n}{n^2+2n}=\frac{\frac12+\frac{1}{n}}{1+\frac{2}{n}}，n \rightarrow \infty，则N\geq \frac12。\therefore lim_{n\rightarrow \infty}N=\frac12。 解：令N=n2+n+11​+n2+n+22​+...+n2+n+nn​，则N≤n2+n+11+2+...+n​=n2+n+121​(n+1)n​=1+n1​+n21​21​+n1​​，n→∞，则N≤21​；N≥n2+n+n1+2+...+n​=n2+2n21​(n+1)n​=1+n2​21​+n1​​，n→∞，则N≥21​。∴limn→∞​N=21​。   2.2.关于单调有界准则的一个例题：    e g . x 1 > 0 , x n e x n + 1 = e x n − 1 , n = 1 , 2 , . . . ， 证 明 { x n } 收 敛 并 求 l i m x → ∞ x n 。 eg.x_1>0,x_ne^{x_{n+1}}=e^{x_n}-1,n=1,2,...，证明\{x_n\}收敛并求 lim_{x\rightarrow \infty}x_n。 eg.x1​>0,xn​exn+1​=exn​−1,n=1,2,...，证明{xn​}收敛并求limx→∞​xn​。    解 ： 根 据 拉 格 朗 日 中 值 定 理 ( 之 后 的 笔 记 会 提 到 ) ， x 1 e x 2 = e x 1 − 1 ⟹ e x 2 = e x 1 − 1 x 1 − 0 = f ′ ( ξ ) = e ξ ， 其 中 0 < ξ < x 1 ， 推 出 e x 2 < e x 1 ， 即 x 2 < x 1 。 根 据 数 学 归 纳 法 ： ( I ) x 2 < x 1 成 立 ； ( I I I ) 设 0 < x n + 1 < x n ； ( I I I ) e x n + 2 = e x n + 1 − e 0 x n + 1 − 0 = e η ， 其 中 0 < η < x n + 1 ， 即 0 < x n + 2 < x n + 1 。 则 { x n } 是 单 调 减 少 数 列 且 有 下 界 ⟹ l i m n → ∞ x n 存 在 记 为 A ， 此 时 A e A = e A − 1 ， 令 f ( x ) = x e x − e x + 1 ， f ′ ( x ) = e x + x e x − e x = x e x ， 当 x ≥ 0 时 f ′ ( x ) ≥ 0 ， 即 f ( x ) 在 [ 0 , + ∞ ] 上 单 调 递 增 且 f ( 0 ) = 0 为 唯 一 零 点 ， 故 A = 0 。 解：根据拉格朗日中值定理(之后的笔记会提到)，x_1e^{x2}=e^{x_1}-1\Longrightarrow e^{x_2}=\frac{e^{x_1}-1}{x_1-0}=f'(\xi)=e^{\xi}，其中0