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中小学教育资源及组卷应用平台2024年高中数学压轴题专项训练：三角函数（难题篇）1．已知函数．（1）若存在，使得成立，则求的取值范围；（2）将函数的图象上每个点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，求函数在区间内的所有零点之和．2．已知函数上的一个最高点的坐标为，由此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点，若．（1）求的解析式．（2）若对任意实数，不等式在上恒成立，求实数的取值范围．3．在中，角所对的边分别为.（1）求；（2）若，过作垂直于交于点为上一点，且，求的最大值.4．在中，内角，，的对边分别为，，，且.（1）求角的大小；（2）若，，求边上中线的长.5．已知定义在上的函数，满足，当时，．（1）若函数的最小正周期为，求证：，为奇函数；（2）设，若，函数在区间上恰有一个零点，求的取值范围．6． 已知，且函数，（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的单调减区间；（3）若函数（其中）是上的偶函数，求的值，7．已知函数的部分图象如图所示.（1）求的解析式及对称中心坐标：（2）先把的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若当时，关于的方程有实数根，求实数的取值范围.8．已知向量，，令函数.（1）求函数的表达式及其单调增区间；（2）将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，且满足，当最小时，存在实数、使得，求的最小值.9．已知函数 请在下面的三个条件中任选两个解答问题.①函数的图像过点；②函数的图像关于点 对称；③函数相邻两个对称轴之间距离为.（1）求函数的解析式；（2）当时，是否存在实数满足不等式？若存在，求出的范围，若不存在，请说明理由.10．已知函数，其中.（1）当时，若，求的值；（2）记的最大值为，求的表达式并求出的最小值.11．已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）将函数的图象向下平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，若方程有两个不等的实根，求实数的取值范围.12．乐音中包含着正弦函数，平时我们听到的乐音是许多个音的结合，称为复合音，复合音的产生是因为发声体在全段震动，产生基音的同时，其余各部分，如二分之一部分也在震动．某乐音的函数是，该函数我们可以看作是函数与相加，利用这两个函数的性质，我们可以探究的函数性质．（1）求出的最小正周期并写出的所有对称中心；（2）求使成立的x的取值集合；（3）判断，函数零点的个数，并说明理由．13．已知函数，再从条件① 条件② 条件③中选择一个作为已知，条件①：函数的图象经过点；条件②：函数的图象可由函数的图象平移得到；条件③：函数的图象相邻的两个对称中心之间的距离为.注：如果选择条件① 条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分.（1）求的解析式；（2）当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.14．已知函数．（1）若存在，，使得成立，则求的取值范围；（2）将函数的图象上每个点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，求函数在区间，内的所有零点之和．答案解析部分1．【答案】（1）解：.若存在，使得成立，则只需即可∵，∴，∴当，即时， 有最大值1，故.（2）解：依题意可得，由得，由图可知，在上有4个零点： ，根据对称性有，从而所有零点和为2．【答案】（1）解：由最高点的坐标可得：，且由题意可得：，，当时，，解得：，令可得：，∴ 函数的解析式为：．（2）解：当时，，则，，不等式在上恒成立，即，，据此可得：，，综上可得m的取值范围是．3．【答案】（1）解：因为，所以，又，所以，因为，，所以，又，解得，因为，所以.（2）解：由已知可设，在中，则由余弦定理得，即，由正弦定理得，所以.在中，由余弦定理，得，，当时，的长度取得最大值.4．【答案】（1）解：因为，所以，所以，由余弦定理可得，又，所以，（2）解：由可得，所以，，所以或，所以或，若，则，又，所以，设的中点为，所以边上中线的长为，若，则，为等边三角形，因为，所以，设的中点为，所以边上中线的长为.5．【答案】（1）解：当时，，所以，又因为函数的最小正周期为，所以，所以，故.对于任意给定的，，因为，所以.对于任意给定的，，因为，所以，当时，.综上所述，函数，为奇函数.（2）解：，即，当，，于是，当，，于是，据此可得，当（为正整数）时，，当（为正整数）时，，函数在区间（为正整数）上为严格的减函数，其值域为，函数在区间上恰有一个零点，等价于关于的方程在区间上仅有一解，对于函数，在区间上，其函数值的取值范围是；在区间上，其函数值的取值范围是.由题意，关于的方程在区间上须无解，而在区间上仅有一解，所以的取值范围为.6．【答案】（1）解：因为，所以.故的最小止周期为.（2）解：由，得，所以函数的单调减区间为.（3）解：因为，因为是上的偶函数，所以，即，又，所以或.7．【答案】（1）解：由题意可得：，可得，所以，因为，所以，可得，所以，由可得，因为，所以，，所以.令可得，所以对称中心为.（2）解：由题意可得：，当时，，，若关于的方程有实数根，则有实根，所以，可得：.所以实数的取值范围为.8．【答案】（1）解：），由，解得，即f(x)的单调递增区间为，（2）解：将函数f(x)的图象向右平移t(t>0)个单位得到函数g(x)的图象，g(x)满足g(-x)=g(x)，则g(x)是偶函数，则，又t>0，当k=-1时，t最小，此时，此时，由 ， 则，即，则只有时方程有解，即，解得故，当时，最小，最小值为.9．【答案】（1）解：选择①②：因为函数的图像过点，所以，解得，因为 所以因为函数的图像关于点对称，则可得，因为，所以，所以.选择①③：若函数的图像过点所以，解得，因为所以因为函数相邻两个对称轴之间距离为，所以，所以，解得：.所以.选择②③：因为函数相邻两个对称轴之间距离为，所以，所以，解得：.若函数的图像关于点对称，则可得，因为 所以，所以.（2）解：当时，，令，则，记，则因为在轴对称，所以，即，所以，即，解得：所以实数的范围是：.10．【答案】（1）解：令，则，，∴，当时，，∴，∴.（2）解：，①当，即时，在上单调递增，∴.②当，即时，1°.时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，∴，记，在上单调递增，，∴，∴.2°.时，.3°.时，，而，∴.综上，对，，∴，当时取得最小值.11．【答案】（1）解：，故函数的最小正周期为.（2）解：将函数的图象向下平移个单位长度，得到的图象，再把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象.当时，，令，当时，方程有两个不等的实根，即与的图象在上有两个交点，画出在上的图象如图所示：由图可得，故实数的取值范围为.12．【答案】（1）解：因为的最小正周期为，的最小正周期为，，，而，所以的最小正周期为．由图象可知，函数与图象关于点，对称，而函数是奇函数，，因此是图象的对称中心，所以的对称中心为，．（2）解：要使，即，又因为恒成立，故成立的的取值集合与成立的的取值集合一致，故成立的的取值集合为，．（3）解：观察给定的图象，可以判断图象在上先增后减，且，由（2）知当时，，故在上函数与函数有两个交点．因为的最小正周期为，故在上函数与函数也有两个交点．又因为函数为奇函数，图象关于原点对称，故在，上函数与函数图象无交点．综上所述，，函数零点的个数为4．13．【答案】（1）解：；选①：函数的图象经过点，则，所以，则，由，可得，则；选②：函数的图象可由函数的图象平移得到，即的图象可由函数的图象平移得到，则，则.选③：函数的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，则函数的最小正周期为，故，故.（2）解：当时，，则，故，又当时，关于的不等式恒成立，故，即实数的取值范围为.14．【答案】（1）解：，若存在，使得成立，则只需即可，，，当，即时，有最大值1，，（2）解：∵将函数的图象上每个点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，，，，在上有4个零点，，根据对称性有，，21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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