2.2.2 对数函数及其性质 高中数学       人教A版2003课标版

知识与技能目标  理解对数函数的定义;掌握对数函数的图象和性质;初步学会用对数函数的定义和性质解决简单的问题.

过程与方法目标  通过对对数函数的定义、图象及性质的探究，让学生经历从特殊到一般、由直观到抽象的认知过程;体会本节课所蕴含的数形结合、分类讨论、等价转化等数学思想以及归纳、类比等思维方法;并能通过构造函数比较两个对数的大小.

情感价值观目标 培养学生勇于探索和创新的精神，让学生积极主动学习;构造和谐的教学氛围，通过小组合作、展示交流等互动培养学生的协作精神，促进生生之间、师生之间的情感交流.

学生在初中已经接触了函数的内容，并在高中继续学习函数，通过指数函数、对数的学习，学生已经多次体会了运动变化、相互联系、等价转化的数学思想，学生的探究能力、逻辑思维能力得到了一定的提高，初步具备了探究对数函数及其性质的认知基础.

然而由于学生进入高中学习不久，对函数概念的理解还不够深刻，由特殊到一般、从直观到抽象的归纳、抽象、概括等数学能力还十分欠缺，对所学数学知识的实际背景知之甚少.

函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，是高中数学的核心知识.在它的重要组成部分——指数函数的学习中，我们研究了它的定义、图象、性质及其应用，而指、对数互化则开启了函数学习的新领域——对数函数.对数函数是高中阶段所要研究的一类基本初等函数，它既是对已学知识的巩固应用，也是对函数这一核心概念的进一步认识和理解，通过本节课的学习不仅使学生的知识体系更加完整、系统，而且为学生今后进一步学习、研究对数型问题提供了必要的知识储备.尤其是通过本节课的教学进一步巩固了“概念形成——图象探究——性质归纳”这一研究函数的一般方法.

教学重点：对数函数的定义、图象及性质；感悟研究函数图象和性质的一般方法.

教学难点：从对数函数的图象归纳出对数函数的性质.

1．新课引入

引言 同学们：指数函数的学习刚刚告以段落，指、对数的互化为我们展开了函数学习的新篇章.现在让我们一起回顾指数函数，共同探究新的知识（播放视频“细胞分裂”）

师：正如大家看到的，这是一段细胞分裂的视频.

引入探究 细胞分裂中，每次每个细胞分裂为两个.这样第x次分裂后,细胞的个数y与x满足的关系是什么？

生：

师：这是什么函数？

生：指数函数.

【评析】从学生熟悉的知识背景切入本节课，提高了学生主动参与学习的积极性，使学生迅速融入新课的学习.

2．新知形成

合作交流 在上述细胞分裂问题中，如果这种细胞经过多次分裂，得到了y个细胞，那么，分裂次数x可以怎样用y来表示？

细胞个数

2

4

8

16

32

…

512

…

y

分裂次数

生：1,2,3,4,5,9（齐答）

师：每个确定的细胞个数都有唯一的分裂次数与之对应，这显然符合函数关系.那么y对应的分裂次数是什么呢？

生：根据指、对数的互化关系，可以将 化为 .

师：也就是说可以把分裂次数x表示为细胞个数y的函数.如果用x表示自变量,y 表示函数值，此式又可化为 ，这就是我们今天要共同探讨的对数函数（板书课题）

【评析】以实际问题为载体，给出新信息情境，要求学生联系已学过的知识分析和解决问题，让学生体验引入对数函数的必要性.

不仅仅是细胞分裂问题，实际生活中还有很多变量关系都有着类似的函数模型……例如前一节的例6中提到了出土文物年代的估算，其中生物体内碳14的含量P与死亡年数t之间满足函数关系                        

师：观察这两个函数，其外形上尽管有些差异，但也有着诸多共性，同学们，它们有哪些共同点？（学生思考，教师引导归纳）

这两个式子都是对数形式，两个底数 和2都是常数，大于0，且不等于1，两个真数P和x是自变量，两个对数值t和y是因变量.可以归纳出

因为真数恒大于0，可知函数的定义域是

教师充分肯定学生的发言，帮助完善并板书对数函数的定义.

【评析】学生对函数概念的理解深感困难，然而它来源于生活，组织学生从特殊的个例中观察规律，归纳共性，并抽象出对数函数的一般形式，有利于学生对于对数函数概念的理解，并培养学生的归纳能力，在学习中寻找成就感.

3．合作探究

师：同学们，我们现在又结识了一个新的函数，对数函数外形上就是对数，在实际中具有重要使用价值，那么如何深入去认识这种函数，为我所用？

生：图象

问题一：如何作出对数函数 的图象？

学生在导学案的坐标纸上完成作图，并由学生代表在黑板上演示作图过程

演板同学讲述作图的步骤即：列表——描点——连线，并陈述取点理由.全班同学共同补充完善.

【评析】在教师的引导下，由学生自己动手作图、陈述作图过程，进一步强化学生对一般函数图象的做法步骤的掌握，并加深对图象的直观印象，有助于加强记忆.

问题二：作出对数函数 和 的图象，探究 的一般图形特征.

学生在导学案的坐标纸上完成作图，并推选代表利用实物投影仪展示图形，阐述作图过程.

师：同一坐标系下的这三个图象有着类似的形态，一定会有必然的规律，我们可以由此探究怎样的一般规律呢？

生：这3个图分别是以2、3、4为底的对数函数，它们都是大于1的常数，所以我认为所有底数大于1的对数函数图象都是这样的.

师：回答的很好，大于1的数不仅仅是我们取的这些整数，课后大家还可以取更多的数加以尝试，包括分数、无理数，都可以得到同形态的图象.

【评析】利用实物投影仪进行集体交流，及时反馈信息，达到互帮互助，合作学习的目的.通过多个图象的对比，更利于发现图象中的一般规律，让学生从合作学习中体会到成功的喜悦.

问题三：观察 图象，分析其特征，探究其性质

利用学案，分组合作探究,并推选代表用投影仪展示各组探究成果.

图象的特征

函数的性质

（1）图象都在 轴的右边

（1）定义域是（0，+∞）

（2）图象向上、向下无限延伸

（2）值域是R

（3）函数图象都经过（1，0）点

（3）1的对数是0

（4）从左往右看，图象逐渐上升.

（4） 在 是增函数，

（5）函数图象在（1，0）点右边的纵坐标都大于0，在（1，0）点左边的纵坐标都小于0.

（5） ＞1，则 ＞0

     0＜ ＜1， ＜0

【评析】由对数函数的图象入手，以小组为单位，让学生经历观察、联想、思考、分析、概括的思维过程，在互助合作中分析对数函数的图象，用数学语言表达为对应的性质.深刻体会到图象与性质间的联系，利于对函数性质的理解，突破难点，同时培养了学生的数形结合思想，加强互助合作意识.

问题四：合作推广探究 的图象及性质.

由各小组组长组织本组成员回顾之前的探究流程，分配任务，合作学习，自主探究 的图象和性质，并利用投影仪展示探究成果，和大家分享学习的喜悦.

师：大家都完成了探究，哪组的同学愿意和大家分享一下？

生：根据前面的研究过程，我们组按照先作图，再分析图象特征，得出函数性质进行问题四的讨论.我们画了以 、 、 为底数的的对数函数图象（利用投影仪展示）归纳出 的函数图象都是如此形态.并归纳了和之前类似的图象特征和函数性质.

图象的特征

函数的性质

（1）图象都在 轴的右边

（1）定义域是（0，+∞）

（2）图象向上、向下无限延伸

（2）值域是R

（3）函数图象都经过（1，0）点

（3）1的对数是0

（4）从左往右看，图象逐渐下降.

（4） 在 是减函数，

（5）函数图象在（1，0）点右边的纵坐标都小于0，在（1，0）点左边的纵坐标都大于0.

（5） ＞1，则 0

【评析】前面的探究是在教师设置问题的引导下逐步实现的，在这一环节中创造性的让学生离开教师的帮扶，自行分配任务，完成探究的全过程.既是对函数探究步骤的回顾，也让学生在课堂上充分展现自己的探究能力，让学生真正成为学习的主人.

（注意作为预案，学生或许会说出不同观点，如不一定非由列表、描点、连线来作图）

师：在自主探究中有其他观点要补充的吗？

生：两次作图我分别作了以4和 为底的对数函数图象，发现取同一x值时对应的y互为相反数，所以图形关于x轴是对称的.4和 互为倒数，所以我想2和 ,3和 ， 为底所作的对数函数图象也应该是关于x轴对称的.

师：想的很好，能不能请你转化一下这两者的关系呢？

生：

【评析】自主探究学习中，开放的学习环境带给学生思维自主发展的空间，让学生的各种想法在此交融、碰撞，让学生在学习中寻求规律，探索事物间的联系.

PPT展示探究成果

4．实例训练

例1  求下列函数的定义域:

学生独立思考完成解答，学生代表讲述解题思路，互相补充.

生：

生：

师：那种做法正确呢？

生：第二种.

师：求定义域时一定要由原函数求得，不能转化为其他形式再求.

【评析】通过此例题的探究，让学生巩固对数函数的定义，加深对于对数函数的理解.纠正了学生解题的易错点，明确定义域的求解应根据原函数求解.

例2  比较下列各组数中两个值的大小：

由学生代表板书解题过程，教师讲解基本解题步骤，展示此类题目的解题格式.

练习;比较下列各组数中两个值的大小

由学生独立完成解答，学生代表讲述解题思路.

【评析】通过比较大小题型的设置，让学生应用对数函数的单调性解决问题，熟悉对数函数的性质，在题型设置上层层深入，让学生学会观察、判断，初步掌握不同底的两个对数的大小的比较方法，实现学生对对数函数知识的初步应用.

5．课堂小结

师：分组讨论本节课我们有哪些收获？每组推选一名代表发表观点

生：这节课我们从对数函数的图象出发观察特征，归纳性质，发现图象和性质是密不可分的，可以用图象来加深性质的记忆，帮助我们学习数学.

生：我们今天学习的对数函数是从实际生活中的变量关系归纳而来的，数学是来源于生活的.

生：指数函数的学习中我们从函数的定义、图象、性质这些方面学习，今天我们学习对数函数也是如此，说明数学中研究同一类问题的方法类似，应该好好加以利用，提高我们的成绩.

生：……

师：大家说的都很好，我们不仅学习了对数函数的定义、图象、性质.更在学习的过程中体会了数学思想方法.我们多次使用指、对数互化来帮我们进行运算体现了转化的思想方法；更有多位同学在学习的过程中为我们展现了从特殊到一般的归纳过程；当我们一起共同探究对数函数的性质时，体会了从形到数的转化过程；无论是探究中还是练习里，对数函数在不同底数下会有不同的性质，从中体现了分类讨论的思想.

这样看来我们这节课的收获还真不少.

【评析】师生共同探讨一节课的收获，加深了对知识的理解、思想方法的掌握，既激发了学生的学习热情，又融合了师生感情.

6.布置作业

P74  7、 8、 10

【评析】通过作业，巩固课堂所学知识，并弄清知识和方法上的易混点、易错点.

2.2.2 对数函数及其性质

2.2.2 对数函数及其性质

1．新课引入

引言 同学们：指数函数的学习刚刚告以段落，指、对数的互化为我们展开了函数学习的新篇章.现在让我们一起回顾指数函数，共同探究新的知识（播放视频“细胞分裂”）

师：正如大家看到的，这是一段细胞分裂的视频.

引入探究 细胞分裂中，每次每个细胞分裂为两个.这样第x次分裂后,细胞的个数y与x满足的关系是什么？

生：

师：这是什么函数？

生：指数函数.

【评析】从学生熟悉的知识背景切入本节课，提高了学生主动参与学习的积极性，使学生迅速融入新课的学习.

2．新知形成

合作交流 在上述细胞分裂问题中，如果这种细胞经过多次分裂，得到了y个细胞，那么，分裂次数x可以怎样用y来表示？

细胞个数

2

4

8

16

32

…

512

…

y

分裂次数

生：1,2,3,4,5,9（齐答）

师：每个确定的细胞个数都有唯一的分裂次数与之对应，这显然符合函数关系.那么y对应的分裂次数是什么呢？

生：根据指、对数的互化关系，可以将 化为 .

师：也就是说可以把分裂次数x表示为细胞个数y的函数.如果用x表示自变量,y 表示函数值，此式又可化为 ，这就是我们今天要共同探讨的对数函数（板书课题）

【评析】以实际问题为载体，给出新信息情境，要求学生联系已学过的知识分析和解决问题，让学生体验引入对数函数的必要性.

不仅仅是细胞分裂问题，实际生活中还有很多变量关系都有着类似的函数模型……例如前一节的例6中提到了出土文物年代的估算，其中生物体内碳14的含量P与死亡年数t之间满足函数关系                        

师：观察这两个函数，其外形上尽管有些差异，但也有着诸多共性，同学们，它们有哪些共同点？（学生思考，教师引导归纳）

这两个式子都是对数形式，两个底数 和2都是常数，大于0，且不等于1，两个真数P和x是自变量，两个对数值t和y是因变量.可以归纳出

因为真数恒大于0，可知函数的定义域是

教师充分肯定学生的发言，帮助完善并板书对数函数的定义.

【评析】学生对函数概念的理解深感困难，然而它来源于生活，组织学生从特殊的个例中观察规律，归纳共性，并抽象出对数函数的一般形式，有利于学生对于对数函数概念的理解，并培养学生的归纳能力，在学习中寻找成就感.

3．合作探究

师：同学们，我们现在又结识了一个新的函数，对数函数外形上就是对数，在实际中具有重要使用价值，那么如何深入去认识这种函数，为我所用？

生：图象

问题一：如何作出对数函数 的图象？

学生在导学案的坐标纸上完成作图，并由学生代表在黑板上演示作图过程

演板同学讲述作图的步骤即：列表——描点——连线，并陈述取点理由.全班同学共同补充完善.

【评析】在教师的引导下，由学生自己动手作图、陈述作图过程，进一步强化学生对一般函数图象的做法步骤的掌握，并加深对图象的直观印象，有助于加强记忆.

问题二：作出对数函数 和 的图象，探究 的一般图形特征.

学生在导学案的坐标纸上完成作图，并推选代表利用实物投影仪展示图形，阐述作图过程.

师：同一坐标系下的这三个图象有着类似的形态，一定会有必然的规律，我们可以由此探究怎样的一般规律呢？

生：这3个图分别是以2、3、4为底的对数函数，它们都是大于1的常数，所以我认为所有底数大于1的对数函数图象都是这样的.

师：回答的很好，大于1的数不仅仅是我们取的这些整数，课后大家还可以取更多的数加以尝试，包括分数、无理数，都可以得到同形态的图象.

【评析】利用实物投影仪进行集体交流，及时反馈信息，达到互帮互助，合作学习的目的.通过多个图象的对比，更利于发现图象中的一般规律，让学生从合作学习中体会到成功的喜悦.

问题三：观察 图象，分析其特征，探究其性质

利用学案，分组合作探究,并推选代表用投影仪展示各组探究成果.

图象的特征

函数的性质

（1）图象都在 轴的右边

（1）定义域是（0，+∞）

（2）图象向上、向下无限延伸

（2）值域是R

（3）函数图象都经过（1，0）点

（3）1的对数是0

（4）从左往右看，图象逐渐上升.

（4） 在 是增函数，

（5）函数图象在（1，0）点右边的纵坐标都大于0，在（1，0）点左边的纵坐标都小于0.

（5） ＞1，则 ＞0

     0＜ ＜1， ＜0

【评析】由对数函数的图象入手，以小组为单位，让学生经历观察、联想、思考、分析、概括的思维过程，在互助合作中分析对数函数的图象，用数学语言表达为对应的性质.深刻体会到图象与性质间的联系，利于对函数性质的理解，突破难点，同时培养了学生的数形结合思想，加强互助合作意识.

问题四：合作推广探究 的图象及性质.

由各小组组长组织本组成员回顾之前的探究流程，分配任务，合作学习，自主探究 的图象和性质，并利用投影仪展示探究成果，和大家分享学习的喜悦.

师：大家都完成了探究，哪组的同学愿意和大家分享一下？

生：根据前面的研究过程，我们组按照先作图，再分析图象特征，得出函数性质进行问题四的讨论.我们画了以 、 、 为底数的的对数函数图象（利用投影仪展示）归纳出 的函数图象都是如此形态.并归纳了和之前类似的图象特征和函数性质.

图象的特征

函数的性质

（1）图象都在 轴的右边

（1）定义域是（0，+∞）

（2）图象向上、向下无限延伸

（2）值域是R

（3）函数图象都经过（1，0）点

（3）1的对数是0

（4）从左往右看，图象逐渐下降.

（4） 在 是减函数，

（5）函数图象在（1，0）点右边的纵坐标都小于0，在（1，0）点左边的纵坐标都大于0.

（5） ＞1，则 0

【评析】前面的探究是在教师设置问题的引导下逐步实现的，在这一环节中创造性的让学生离开教师的帮扶，自行分配任务，完成探究的全过程.既是对函数探究步骤的回顾，也让学生在课堂上充分展现自己的探究能力，让学生真正成为学习的主人.

（注意作为预案，学生或许会说出不同观点，如不一定非由列表、描点、连线来作图）

师：在自主探究中有其他观点要补充的吗？

生：两次作图我分别作了以4和 为底的对数函数图象，发现取同一x值时对应的y互为相反数，所以图形关于x轴是对称的.4和 互为倒数，所以我想2和 ,3和 ， 为底所作的对数函数图象也应该是关于x轴对称的.

师：想的很好，能不能请你转化一下这两者的关系呢？

生：

【评析】自主探究学习中，开放的学习环境带给学生思维自主发展的空间，让学生的各种想法在此交融、碰撞，让学生在学习中寻求规律，探索事物间的联系.

PPT展示探究成果

4．实例训练

例1  求下列函数的定义域:

学生独立思考完成解答，学生代表讲述解题思路，互相补充.

生：

生：

师：那种做法正确呢？

生：第二种.

师：求定义域时一定要由原函数求得，不能转化为其他形式再求.

【评析】通过此例题的探究，让学生巩固对数函数的定义，加深对于对数函数的理解.纠正了学生解题的易错点，明确定义域的求解应根据原函数求解.

例2  比较下列各组数中两个值的大小：

由学生代表板书解题过程，教师讲解基本解题步骤，展示此类题目的解题格式.

练习;比较下列各组数中两个值的大小

由学生独立完成解答，学生代表讲述解题思路.

【评析】通过比较大小题型的设置，让学生应用对数函数的单调性解决问题，熟悉对数函数的性质，在题型设置上层层深入，让学生学会观察、判断，初步掌握不同底的两个对数的大小的比较方法，实现学生对对数函数知识的初步应用.

5．课堂小结

师：分组讨论本节课我们有哪些收获？每组推选一名代表发表观点

生：这节课我们从对数函数的图象出发观察特征，归纳性质，发现图象和性质是密不可分的，可以用图象来加深性质的记忆，帮助我们学习数学.

生：我们今天学习的对数函数是从实际生活中的变量关系归纳而来的，数学是来源于生活的.

生：指数函数的学习中我们从函数的定义、图象、性质这些方面学习，今天我们学习对数函数也是如此，说明数学中研究同一类问题的方法类似，应该好好加以利用，提高我们的成绩.

生：……

师：大家说的都很好，我们不仅学习了对数函数的定义、图象、性质.更在学习的过程中体会了数学思想方法.我们多次使用指、对数互化来帮我们进行运算体现了转化的思想方法；更有多位同学在学习的过程中为我们展现了从特殊到一般的归纳过程；当我们一起共同探究对数函数的性质时，体会了从形到数的转化过程；无论是探究中还是练习里，对数函数在不同底数下会有不同的性质，从中体现了分类讨论的思想.

这样看来我们这节课的收获还真不少.

【评析】师生共同探讨一节课的收获，加深了对知识的理解、思想方法的掌握，既激发了学生的学习热情，又融合了师生感情.

6.布置作业

P74  7、 8、 10

【评析】通过作业，巩固课堂所学知识，并弄清知识和方法上的易混点、易错点.