x（n）信号做DFT时默认隐藏着周期性，周期为N（采样点数），X（k）信号也存在周期性，周期为2*pi或者N点。

例：注意下图，实际上是把一个信号在时域上在周期上闫拓了，然后做dtf。

时域卷积等于频域相乘，当两个信号x和h在时域做卷积时候可以搬到频域上来做。

 a)线性卷积

        注意长度：x(n),h(n)，x信号长度为L，h信号长度为M，假定L>M，卷积后y(n)的长度为L+M-1

 b）循环卷积什么时候等于线性卷积呢？

       x(n)长度先补零到L+M-1，做dft

       h(n)长度也先补零到L+M-1，做dft，

两者相乘，再做idft，结果就等于线性卷积

当然x(n)和h(n)的长度也可以补零到2^N方（为了fft算法），和上面步骤一样，最后再从2^N的长度去截取前L+M-1长度的结果。

反例：如果x(n)长度不补，h（n）长度也不补，直接频域上做乘法，结果长度为L，做完idft，那输出结果y(n)长度也为L（两者中长度较大值），而实际上正确y（n）的长度为L+M-1，原因如下：

实数序列做fft频域上是共轭对称的，复数做fft结果还是复数（不一定是共轭对称的），但是横坐标的设置都是一样的。在matlab做N点fft，采样率fs，频域轴上的每个点频率间隔fs/N,见下图和下表。

数字频率表示方法

0~2*pi

0~2*pi

-pi~pi

0~fs

0:fs/N:fs-fs/N

-fs/2:fs/N;fs/2-fs/N

0~2

0：1/N:2-1/N

-1:1/N:1-1/N

信号做完dft后，信号的幅度如何变换？

假定一正弦信号，假定信号的频率恰好是fs/N的整数倍，如下图变换，在频谱上出现正负频率，幅度分别为A/2。换句话说，如果f0=0，那么fft后在0频上的幅度是原来信号的N倍，如果f0不为0，且恰好是fs/N的整数倍，那么信号的幅度为原来的N/2倍。

那如果是复数信号，单边频谱，那就幅度就是增加N倍（而不是N/2），因此复数信号比实数信号的幅度增加2倍，也就是增加3dB（正交采样的为什么说增加3dB的原因？）

记住：在不发生频谱泄漏的情况下，复信号的幅度都是增加N倍，而实信号因为有两边的频谱，所以实信号的幅度增加N/2倍，直流分量幅度增加N倍。

补零：

栅栏效应因为采样点的不够，dft是在dtft上频域的采样，如果采样频率间隔刻度太粗（fs/N），是比较难看出信号的真实频谱，补零一定程度上是可以改变频谱的细节特征的。

计算分辨率与什么样类型窗也没关系，永远都是fs/N或者2*pi/N，而物理分辨率（指半功率点）就和真实有效采样点有关了，下图说明了与采样时间成反比，采样时间越长（即有效数据越多），3dB带宽也就越小，物理分辨率也就越高。

理想的单频信号在dtft上频谱图上应该只有一条谱线，但是实际过程dft中有可能存在多条谱线，这种现象就称为频谱泄漏。

其中泄漏又分为主瓣泄漏和副瓣泄漏，下面先讲原理。

频谱泄漏的根本原因还是在做dft上隐藏的默认周期性，如果采样点数n恰好是信号的周期数的整数倍，如图a，那么在周期上闫拓，也不存在信号的突变，还是一个单频的正弦信号，这时dft就不会产生频谱泄漏，而图b采样点n不是信号的整数倍，会存在突变情况（任何信号的突变都会引起其他高频分量的产生），这时候信号做dft就会产生频谱泄漏。

满足N=k*fs/f0,例子：假如fs=200，f0=10,那么一个周期采样的数据点为20，那么只要N是20的整数倍就不会产生频谱泄漏。

从另外一个角度来理解，计算分辨率为fs/N,那么在频谱图上x轴上频率采样点都是k*fs/N（k为整数），那如果有一个信号频率为f0，f0=3.4*fs/N，f0不是计算分辨率的整数倍，那该信号只有骑在k=3和k=4的频谱上，然后依次下降，其中在k=3频率的幅度比k=4频率幅度要大，因为3.4更加接近于k=3。

下面是写的matlab例子，f0=10，f0=11，fs=200，采样点N=40个点，计算结果均符合上述两种结论。

还可以用这个例子来计算上面fft y轴幅度的设定，f0=10Hz的幅度为N/2=20。在f0=11Hz的时候，幅度这样算有偏差。

实际过程中泄漏的影响比较大，容易对信号误判，

避免主瓣泄漏，通过增加N采样数，分辨率越高，泄漏越小；

避免副瓣泄漏，通过窗函数的方法。

 常见的窗函数分为矩形窗，汉明窗，汉宁窗，布莱克曼窗。上面频谱泄漏的例子中就是默认加的矩形窗。同样从dft隐藏的周期出发，上面讲到泄漏的信号是因为周期上的突变引起的，那么我们可以让这个突变影响变小，即在窗函数的起始和结束处越小，就可以更好抑制高频分量，也就是副瓣的幅值越小，见下图。

由下图可知，增加信号的长度能够降低主瓣的宽度（也就是降低主瓣泄漏的影响），但是却不能降低副瓣幅度。降低副瓣的泄漏需要通过加窗的方法。 

下面是几种常见窗的表示式 

 这些窗在时域上都是对称（想想dft的周期肯定要对称，因为周期闫拓，也就是时域相乘），根据上面的分析，从时域图来看布莱克曼窗在边界处是最平坦的，因此副瓣衰减能力最强，汉明其次，最后是汉宁。

 从下图看出矩形窗第一副瓣为13dB左右，主瓣宽度最窄，而布莱克曼的副瓣下降最多，但是主瓣变宽了，具体参看下表，为了抑制频谱泄漏，希望同时主瓣宽度小副瓣电平低，但这两个指标是冲突的，根据实际情况去应用（比如我需要高分辨率，那么可以选择不加窗（即默认矩形窗，如果我只需要降低副瓣，而不关心主瓣宽度，那么可以选择布莱克曼窗）。 

记住：只有信号需要做dft的时候，才考虑要不要加窗（信号如果不做fft是不需要加窗的）。

其中能量恢复系数与幅度恢复系数区别：具体百度参见《加窗频谱分析的恢复系数及其求法》。

能量相等原则：在时域截断后，频谱分析的能量恢复系数应该使加窗能量同样长度的矩形窗的能量一致。（能量是指针对整个频带而言恢复），所以系数比幅度要小一点

幅度相等原则：频谱分析的幅度恢复系数使加窗峰值处的幅值与同样长度矩形窗的幅值相等。不过加矩形窗时需要保证无频谱泄露。（这边针对单个峰值恢复）

下面以幅度相等原则计算上面4种窗的频谱，并在零通道（零频）计算幅度比值，如下图。幅度恢复系数与表格基本一致。对于hamming窗，要估算目标rcs，根据实际的回波，幅度值要乘以1.852，要加上这个损失。

      3.信号做dft的时候，才需要考虑加窗。