信号与系统的频率特性是由其物理属性所决定的，在当今实际的通信中我们常采用电磁波来携带信息。光纤通信有三个窗口，分别在0.85,1.31,1.55um.

对于单频率的信号:$f(t) = 2\cos(2\pi t + \frac{\pi}{4})$的时候，其有三个表征其特征的物理量，分别是振幅A=2，角频率$w=2\pi$,初相位:$\phi = \frac{\pi}{4}$.

一方面我们可以画出其在时域的波形图，另外一方面，我们也可以依据其上述三个特性对其做频域的分析。

基波与谐波是欧拉于1748在研究弦的震动模式中发现弦的振动模式中得到的结论。其定义如下：

傅里叶频率分析就是将周期信号分解为基频和谐波三角函数分量的组合。

对于上示的两个信号，其具有相同的幅度特新，且具有相同的周期，于是又如下两个问题：

显然，无论如何线性地变换$f_{2}(t)$，我们都不可能使其完全称为$f_{1}(t)$,于是此时有必要引入一个误差函数的概念，下式中$f_{e}$就是误差函数。

而上式中的$c_{12}$被称为投影系数。于是此时我们的工作转化为一个最优化问题，如何选取恰当的投影系数以使得误差函数最小。其过程如下：

对于不能两个不平行的函数族，类比向量空间，有如下关系：

再向量空间中，当两个矢量垂直时，误差分量最小，次数误差分量中不再含有除误差函数外的其他分量。

那么此时我们容易计算误差信号在区间$(t_{1},t_{2})$范围内的平均功率（方均误差）：

而上述给出的函数，方均误差也就是目标函数，从而利用最优化方法，我们容易求出此时的投影系数。也就是可以通过如下式子来求得投影系数：

导数为零时候，取到极值，此时可以视作误差最小的情况。

同时我们容易看出，若此时$c_{12} = 0$,那么也就是$\int_{t_{1}}^{t_{2}}f_{1}(t)f_{2}(t)=0$,也就是说此时两个函数正交。于是我们可以通过这个方法来将信号进行正交分解。

${g_{r}(t)},r=1,2,3…n$,为一正交函数集，也就是说所此时$g_{1}(t),g_{2}(t),…,g_{n}(t)$为相互正交的实函数，那么容易知道此时有如下关系：

其中当i不等于j的时候，上述式子结果为0，否则为K。也就是说正交函数集规定，在此集合内的所有函数必须满足正交性原则，也就是任意两个函数的内积必须为0.

任意实信号f(t)都可以分解为n维正交函数的和：

也就是将某个实信号分解为各个实信号：

其中各个C都是独立的，在求解过程中没有先后次序。

若在区间$(t_{1},t_{2})$内，如果复变函数集${g_{r}(t)},(r=1,2,…,n)$,满足如下关系：

其中当i=j的时候，结果为$K_{i}$,否则为0.那么我们称这一类复变函数集为复变正交函数集。利用正交函数集，可以表示各类信号。

对于完备的正交函数集有如下两种表述：

帕塞瓦尔定理是一个十分重要的定理，其表述如下：一个信号所含有的能量（功率）恒等于此信号在完备正交函数中各分量能量（功率）之和。其数学表达式如下：

对于某个满足迪利克雷条件的信号f(t)，其基波周期为$T_{0}$，基波角频率为$w_{0} = \frac{2\pi}{T_{0}}$,那么此时f(t)可以分解为呈谐波关系的三角函数的组合：

其中${\cos(nw_{0}t),\sin(nw_{0}t)},n=0,1,2,…$是一个完备的正交函数集。

对于其中各个系数也可以按照如下方式求得：

类似的也可以得到$b_{n} = \frac{2}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)sin(nw_{0}t)dt$.

那么我们发现对于上述函数存在两个形式的同频率函数，增加了我们研究的复杂程度，于是此时可以考虑对上述两个同频率的信号做一个合并来进行研究。将其统一为如下形式：

而其中合并的方法如下：

由此我们将此函数周期函数转换为一个三角函数的形式，于是对此函数我们知道需要描述其，需要如下几个特征，其一是幅值，其二是相位，于是引出了频域分析的手段。其中首先可以利用频谱图，对于频谱图简述如下;

指数函数形式的傅里叶级数，相比于三角函数的形式，在乘幂等运算过程中的复杂度远比三角函数要晓，对于指数形式的傅里叶级数，我们容易通过欧拉公式将其与三角函数进行如下转换：

于是从上述分析中容易有两个级数的等效性得到如下结论：函数集${e^{jnw_{1}t}},n=0,+-1,+-2,…$是完备的正交函数集。

而其傅里叶系数可以通过如下方法求解：

而两种级数之间通过欧拉公式可以通过如下方式联系在一起：

对于指数形式的傅里叶系数有如下结论：

也就是说此时$|F_{n}| = |F_{-n}|$，两者模相等，于是容易知道此时二者幅频特性具有偶对此性。具体来收也就是幅频相等，相频互为相反数。

首先函数的对称可以分为两类，一类是整周期的对称，一类是半周期的对称。

所谓整周期的对称，此时函数就是我们通常意义下奇函数与偶函数。而半周期的对称，此时函数是奇谐函数和偶谐函数。所谓奇谐函数和偶谐函数就是指的在移动半个周期后与原函数的关系。

偶函数的波形相对于纵轴是对称的，$f(t) = f(-t)$,而正弦函数是一个奇函数，偶函数不可能具有奇分量，于是在计算偶函数的系数时，可以采用如下公式简化计算流程：

那么此时$F_{n} = \frac{1}{2}(a_{n} - j b_{n}) = \frac{1}{2}a_{n}$,也就是说时域为偶函数，频域为实函数。

奇对称的信号波形相对于纵轴呈现反对称，和上述偶函数的分析一样。对于具有奇对称性质的函数，我们称为奇函数，奇函数信号中不可能存在偶分两，于是容易通过如下公式求解：

同样地分析，我们容易知道，时间信号具有奇对称性质，那么在频域上，这个函数就是一个虚函数。且

奇谐函数指的是一类沿着时间轴平移半个周期，并相对于该轴上下翻转时，波形不发生变化的函数。其数学表示如下:

其中$a_{0} = 0$，且当n=2,4,6…时，$a_{n} = b_{n} =0$.也就是说此时整个奇谐函数中没有偶次谐波项。

偶谐函数既有一个十分奇怪的定义：波形左右移动半个周期后，得到的波形与原波形重合，此时我们称次信号为偶谐函数。但是事实上，此时移动半个周期后就重合，其函数周期不就是所谓的半个周期吗？

帕塞瓦尔定理说明了时域和频域的能量是守恒的。

不同频率的分量的功率是不同的，那么我们可以画出如下关于频率和平均功率分布情况的图，我们称为功率系数谱。

此时的横坐标是频率，纵坐标是频率系数，表征了功率随着频率的变化情况。

实际上，我们在使用傅里叶级数对函数进行逼近的时候，通常采用的是，取前N项。也就是此时取出其前N次谐波来逼近f(t).其中误差函数和方均误差可以通过如下公式计算：

显然，再N增大的同时，方均误差再不断减小。

首先我们以方波为例，介绍三角形式的谱系数：

上图中，每个脉冲宽度为$\tau$,周期为$T_{1}$,脉冲高度为E。这个函数是以恶搞偶函数，因此其没有正弦分量，于是容易知道$b_{n} = 0$.同时也知道：$F_{n} = \frac{1}{2}a_{n}$.

计算可得$F_{n} = \frac{-E}{jnw_{1}T_{1}}(e^{-jnw_{1}\frac{\tau}{2}}-e^{jnw_{1}\frac{\tau}{2}})=\frac{W\tau}{T_{1}}Sa(nw_{1}\frac{\tau}{2})$

实际上此时的函数时一个离散的函数，对于次离散的函数，我们可以首先画出其包络线，也就是函数：$\frac{E\tau}{T_{1}}Sa(w\frac{\tau}{2})$.

上述频谱有三个特点：离散性，谐波性，收敛性。而绝大多数频谱都满足如下性质，同时我们也可以只花频谱的绝对值，而将正负转换为角度表示出来。

参数对谱系数有影响：

频带宽度：

在利用傅里叶级数对上述矩形波的分解过程中，我们发现：

也就是说对于上述函数，在脉冲间隔逐渐趋向无穷时，会发生，此时谱系数趋向无穷小的问题。也就是说对于非周期函数，实际上我们时难以将其转化为傅里叶级数的。于是为了对非周期函数进行频域的分析，就有了傅里叶变换。

首先我们在两侧乘$T_{1}$,那么此时得到：

此时我们得到的$F(w)$称为频谱密度函数，简称为频谱函数。

若我们希望由频域的表达式变换为时域的表达式，则需要对函数进行傅里叶反变换：

傅里叶变换得到的函数往往是一个复变函数，对于复变函数我们一般有两种表示方法，其中一种为分为实部与虚部的表示方法，另外一种为使用模和俯角的表示方法，由于后者在表示上更加直观，所以我们通常采用后者来表示变换后的函数。

对于某一特定信号，经过傅里叶变换后得到

傅里叶变换与傅里叶级数展开的条件类似，傅里叶变换也需要函数满足迪利克雷条件。

对于周期的矩形波脉冲信号，其对其进行傅里叶展开，我们前面已经得到相应的结果：

进一步地，若此时脉冲间隔趋于无穷大，我们就得到矩形脉冲的傅里叶变换结果。也就是对下式取极限，得到：

于是此时上述式子即为矩形脉冲在傅里叶变换后得到频域的信号。接下来我们对这个信号做一个具体的分析：

当然也可化为幅度谱和相位谱。

首先我们介绍单边指数信号的形式，单边指数信号指的是只在正半轴或者负半轴出现的信号，形式如下：$f(t) = Ee^{-\alpha t}u(t) (\alpha > 0)$.

对于这种情况，其傅里叶变换如下：

而后将积分限代入，我们就得到了如下表达式：

利用复变函数中学到的知识，我们容易对上述式子转化为模和幅角的形式：

同样地我们可以画出幅度频谱图和相位频谱图。

需要注意其中$\alpha = w$的点，在今后的进一步研究系统衰减的时候会用到这点的性质。

对于直流信号而言，我们容易看出直流信号显然不满足绝对可积条件，于是我们不能够直接使用积分的形式求解其频域表达式。所以考虑如下方式：

我们已经求解出方波矩形脉冲信号的频域表达式，于是此时我们只需要让其脉冲宽度趋近于无穷大我们就可以得到直流信号的表达式。也就是对$F_{1}(w) = 2\tau Sa(w\tau)$取极限，得到：

接下来我们对上述极限求解过程中的难点，从Sa函数到$\delta$函数的转换做一个更为细致的介绍：首先我们知道，对于函数$\frac{\tau}{\pi}Sa(w\tau)$,其第一个过零点为$w = \frac{\pi}{\tau}$,也就是说此时对于具有最大能量的主峰部分其面积：$\frac{\tau}{\pi}\frac{\pi}{\tau}$不变。但是此时随着$\tau$的增大，波形会逐渐压缩，于是我们就得到了如下结论：

对于Sa函数而言，从负无穷到正无穷其面积为$\pi$,而对于$Sa(w\tau)$而言，实际上频域被压缩为原来的$\frac{1}{\tau}$,于是此时的总面积为$\frac{\pi}{\tau}=1$.那么我们可以得到在$\tau$逐渐变大的过程中，虽然频域逐渐压缩，但是其图形的面积不变，于是当$\tau \to \infty$时，上式就变为了$\delta(w)$.

符号函数同样也不满足绝对可积条件。对于符号函数我们采用构造双边指数信号后，在对双边指数函数取极限得到，具体函数构造如下：

通过单边指数信号的傅里叶变换结果我们容易知道结果为：

接着我们取极限，让$\alpha \to 0$,我们就得到了符号函数在傅里叶变换下频域表达式：

它也有相应的幅度谱和相位谱：

冲击函数已经是我们的老朋友了，其傅里叶变换可以直接通过定义和冲激函数的抽样性质得到：

它的时域无线窄，频域无限宽。

对于冲击偶信号，我们也可以使用定义的方式求解其频域表达式：

傅里叶变换的性质是学习傅里叶变换的重要内容，在日常工程实践中，往往不是通过积分计算求解相应信号的频域表达式。而是通过傅里叶变换的性质，将需要研究的函数转化为上一节介绍的典型信号的形式。并通过傅里叶变化的性质，求解出此时信号的频域表达式。

傅里叶变换具有线性，所谓线性就是满足输入信号的数乘与求和在傅里叶变换之后的频域表达式依然满足数乘和求和的关系。具体数学描述如下：

由此我们可以利用线性性质求解单位阶跃信号的频域表达式，对于单位阶跃信号$u(t)$,显然其不满足绝对可积条件，于是我们对其做一个分解，$u(t) = \frac{1}{2}+\frac{1}{2}sgn(t)$.利用傅里叶变换的线性性质得到：$F(w) = \pi\delta(w) + \frac{1}{jw}$.

对称性也叫做对偶性，这个性质描述的是傅里叶变换下信号时域与频域的关系，具体数学描述如下：若存在一信号f(t),经过傅里叶变换后得到：$F(w) = \mathcal{F}[f(t)]$,那么$\mathcal{F}[F(w)]=2\pi f(-w)$.

同样我们也具有正变换和逆变换的区别：

下面的分析需要借助傅里叶的反变换：

此时再凑成傅里叶反变换的形式就得到：

这说明$2\pi f(-w)$在经过傅里叶逆变换之后得到$F(t)$,这等价于说$F(t)$在经过傅里叶变换之后得到$2\pi f(-w)$.

于是我们称$F(t)$和$2\pi f(-w)$为一个傅里叶变换对。

对于某一个实信号，我们总是可以将其分解为偶分量与奇分量之和的形式。

于是就得到一个重要结论，对于某一个能够分解为偶分量和奇分量的实信号$f(t) = f_{e}(t) + f_{o}(t)$而言，其傅里叶变换的频域表达式总是可以写为如下形式：

也就是说

此外一个重要的性质就是此时：$F(-w) = R(-w) + jX(-w) = R(w) - jX(w) = F*(w)$.

尺度变换特性是傅里叶变换一个重要的性质。他描述了时域与频域之间的关系，具体来说就是时域压缩，则频域扩展，时域扩展则频域压缩。

具体形式为：

我们首先给出时移特性的数学表述：

时移特性说明的是，时间移动并不会使幅度谱发生变化，只会改变相位谱。

频移特性描述的是频变化时，时域的变化。事实上，频移特性和时移特性具有某种对称性。

频移特性可以用于对信号的调制。这个性质的证明十分简单，只需要通过傅里叶变换定义的积分运算即可得到。

微分性质的研究时傅里叶变换性质的一个重要考点，对于傅里叶变换的微分性质，我们首先给出其公式：

傅里叶变换的微分性质实际上产生于傅里叶逆变换中$e^{jwt}$求导后产生的$jw$.具体证明如下：

与时域微分性质对称的，对于频域形式的信号也有其频域微分性质。具体表现如下：也就是说在频域微分一次，在时域就会相应地得到一个(-jt).

证明可以从定义入手如下：

时域的积分性质事实上就是对时域函数做一个从负无穷到t的积分，也就相当于此时函数中暗含了单位阶跃函数u(t).于是此时下述两个函数构成了傅里叶变换对：

容易看出，时域的积分性质和时域的微分性质时统一的。依据时域的微分性质，在时域的每次求导就会在频域乘上一个(jw)，而依据时域的积分性质，每次在频域的求导就会在时域除以一个(jw).当然需要注意的时F(0)是否为0，若F(0)不为0，还需要增加一项$F(w)\pi \delta(w)$.

同样我们容易得到频域的积分性质如下：但是由于使用较少，此处不展开介绍。

卷积特性时傅里叶变换中最重要的内容之一，卷积也是我们处理信号的重要手段。我们可以不但可以利用时域的卷积定理求其他函数的频谱密度函数（类似于通过卷积求响应），也可以求积分的傅里叶变换，还可以用傅里叶分析法来求解系统的零状态响应。

时域卷积定理可以简单表述如下，时域做卷积，频域做乘积。也就是说：

注意其中证明的关键步骤是使用时移性质将$f_{2}(t-\tau)$变为f(t)的函数，从而得到另外一个傅里叶变换因子。

因为傅里叶变换具有对称性质，容易知道，频域具有类似的卷积定理也就是说：频域做卷积时域做乘积，但是需要注意此时需要修正系数。因为前面对偶性质我们容易知道在变换前后会出现一个$2\pi$.具体表述如下：

需要指出的是，若我们使用2 $\pi$ f在频域替代w，则此时可以利用尺度变换性质将系数变为1.

周期信号之前通过傅里叶级数展开得到的是傅里叶级数$F_{n}$离散谱,非周期信号无法进行傅里叶展开，通过傅里叶变换得到的是傅里叶变换后的频域表达式$F(w)$,此时得到的是连续谱。

为此我们事实上并没有一种统一的方法对信号做统一的傅里叶变换，在本节轴我们会介绍一种称为傅里叶变换分析法，从特殊的周期函数的傅里叶变换开始学习到更加一般的情况。

对于余弦函数，由于欧拉公式我们知道$\cos w_{0}t = \frac{1}{2}(e^{jw_{0}t}e^{-jw_{0}t})$.首先我们已知常数1的傅里叶变换是$\mathcal{F}[1] = 2\pi\delta(w)$.接着通过频移性质我们容易得到：

接着使用线性性质我们就得到了余弦函数的频域表达式：

正弦函数与余弦函数是类似的，同样首先利用欧拉公式得到：$\sin w_{0}t = \frac{1}{2j}(e^{jw_{0}t}-e^{jw_{0}t})$.

同样我们可以利用和余弦函数类似的方法得到如下结果：

单位冲击序列的傅里叶变换$\delta_{T} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t - nT)$，其中n为整数。

任何一个周期信号，如果其满足迪利克雷条件，那么其就能按照如下方式展开为傅里叶级数：

于是可以对级数内部的连续函数求傅里叶变换，于是得到如下变换形式：

于是此时f(t)的频谱由冲击序列在$w = nw_{0}$处足证，强度为$2\pi F_{n}$.普贤的幅度不是有限值，因为F(w)表示的是频谱密度，周期信号的F(w)只存在于$w = nw_{0}$处，频率范围无限小，幅度为$\infty$.

假设f(t)是一个非周期的能量信号，那么其能量可以按照如下公式计算：

于是为了得到频域的表达式，我们对共轭函数做傅里叶逆变换得到：

从上述表达式我们容易看出，只需要通过$|F(w)|^{2}$为能量密度谱，或者也简称为能量谱，记作$\mathcal{e}(w)$.也就是：

而其中$\mathcal{e}$表征了能量的变换域角频率的分布关系。

功率有限信号f(t),截取有限时间的信号$f_{T}(t)$.设$f_{T}$和$F_{T}(w)$是一对傅里叶变换对，那么在时间T内的能量为：

由于实际上对于上述信号的能量在全时域或者全频域内都是无穷大，无法直接计算，于是我们转为对功率信号描述其功率：

能量信号的相关分为两种，一种称为自相关函数，另外一种称为互相关函数。首先我们介绍互相关函数，互相关函数介绍的是两个信号之间的关系，其具体表现如下：

自相关描述的是同一个信号之间的关系：

对于互相关函数由如下性质：

功率信号的相关与能量信号的相关类似，不过相当于为使结果得到有限数，在其之前除上了一个T.具体结果如下：

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