前几天有好几个人微信问我那个冲上热搜的2023韩国高考数学题，就下面这个。

当然，人家不是来问我这个题怎么做的，毕竟不算很难，这位同学纠结的是网友的评论：该题目是否属于初中难度？

换句话说，用于初中考试题目是否超纲（不会是位初中数学老师吧）

简单那说一下解法，通常来说网友给出的解法是这样的，只需要幂运算法则和平方差公式就可以解决（取对数来解就不提了，那就是高中的范畴了）

(\frac{4}{2^\sqrt2})^{2+\sqrt2}=(\frac{2^2}{2^\sqrt2})^{2+\sqrt2}=(2^{2-\sqrt2})^{2+\sqrt2}=2^{2^2-\sqrt2^2}=2^2=4

所以我询问了他们当地的考试大纲，发现幂运算和幂的定义确实属于当地初中教学大纲内容，也在考纲中，所以看上去似乎在初中测试中也不超纲。

但是仔细研究了一下之后，我还是建议他放弃在初中阶段出这个题目。因为我发现考纲的规定有点模糊，还是存在超纲的可能性：当地大纲中尽管规定了幂运算属于考纲范围，但是在幂定义这里却规定了“有理次幂”，对于“实数次幂”则仅仅要求了解概念。

我们熟知的幂定义一般是n个正实数a相乘的结果表示为 a^n ，一般读作a的n次幂。而反过来，正实数a开n次方写作 \sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}} 。这二者中n都必须是正整数。

而根据幂运算规则，我们可以得到 \sqrt[q]{a^p}=a^{\frac{p}{q}} ,其中p和q都是正整数，而任何正有理数都可以表示两个互质的正整数的比的形式，成由此我们可以将正实数的幂指数扩展到整个正有理数。再借助 a^{-x}=\frac{1}{a^x} 就可以扩展到整个有理数。

所以，正实数的有理次幂完全在初中考纲之类

但是，上述定义无法将幂指数扩展到实数，因为有理数的有限次的加减乘除运算不可能得到无理数，所以我们没法通过有理次乘方和开放运算得到无理次幂

那么如果我们要将幂指数从有理数扩展到实数，就必须借助新的定义。通常有两种定义方法：

其一是依靠极限：

在有理次幂的定义基础上

定义： a^x=\lim_{r \rightarrow x}{a^r} (a\in R^+, x\in R, r\in Q)

其二是依靠对数函数来定义：

通过先定义实数域上的指数函数 e^x=\exp(x)=\lim_{n \rightarrow \infty}{(1+\frac{x}{n})^n}

然后通过取对数的形式将任意 a\in R^+ 时 a^x=e^{\ln b}=\exp(\ln b) 的形式将底数扩展到正实数从而完成正实数的实数次幂的定义。

显然，无论采用那种形式都需要借助极限的定义，而极限显然不在当地初中考纲范围内，故而可能存在超纲。