系统 x ˙ = f ( x , t ) \dot x=f(x,t) x˙=f(x,t),若存在状态 x e x_e xe​满足 x ˙ e ≡ 0 \dot x_e\equiv 0 x˙e​≡0,则该状态为平衡状态

系统对于任意选定的实数 ε > 0 \varepsilon>0 ε>0,都存在一个实数 δ > 0 \delta>0 δ>0,当满足 ∣ ∣ x 0 − x e ∣ ∣ ≤ δ ||x_0-x_e||\leq\delta ∣∣x0​−xe​∣∣≤δ 从任意 x 0 x_0 x0​出发的解都满足 ∣ ∣ Φ − x e ∣ ∣ ≤ ε ||\Phi-x_e||\leq\varepsilon ∣∣Φ−xe​∣∣≤ε 则称平衡状态为李氏意义下的稳定

解最终收敛于 x e x_e xe​

从状态空间中所有初始状态出发的轨线都具有渐近稳定性，称这种平衡状态 x e x_e xe​为大范围内渐近稳定

不管 δ \delta δ有多小，只要由 S ( δ ) S(\delta) S(δ)内出发的状态轨迹超出 S ( ε ) S(\varepsilon) S(ε) 以外，则称此平衡状态是不稳定的

李氏稳定（状态稳定）的充要条件：系统矩阵A的全部特征值位于复平面的左半部 输出稳定的充要条件：传递函数 W ( s ) = C ( S I − A ) − 1 B W(s)=C(SI-A)^{-1}B W(s)=C(SI−A)−1B的全部极点位于复平面左半部 PS：输出稳定不一定状态稳定，可能存在零极点对消

非线性系统状态方程 x ˙ = f ( x ) \dot x=f(x) x˙=f(x) f ( x ) = [ f 1 , f 2 ⋯ f n ] f(x)=[f_1,f_2\cdots f_n] f(x)=[f1​,f2​⋯fn​] 向量函数的雅可比矩阵： 原非线性状态方程化为线性状态方程 Δ x ˙ = ∂ f ∂ x T Δ x \Delta\dot x=\frac{\partial f}{\partial x^T}\Delta x Δx˙=∂xT∂f​Δx 其中 Δ x = x − x e \Delta x=x-x_e Δx=x−xe​ 然后可套用线性系统的稳定判据

V ( x ) V(x) V(x)为x所定义的标量函数，对于任何非零矢量x，如果： 1） V ( x ) > 0 V(x)>0 V(x)>0,则为正定的 2） V ( x ) ≥ 0 V(x)\geq0 V(x)≥0,则为半正定的 3） V ( x ) < 0 V(x) ∞ ||x||->\infty,V(x)->\infty ∣∣x∣∣−>∞,V(x)−>∞,则系统是大范围渐近稳定的 2、 V ( x ) V(x) V(x)正定, V ˙ ( x ) \dot V(x) V˙(x)半负定，在非零状态 V ˙ ( x ) \dot V(x) V˙(x) 不恒为 0,在原点是渐近稳定的 3、 V ( x ) V(x) V(x)正定, V ˙ ( x ) \dot V(x) V˙(x)半负定，在非零状态 V ˙ ( x ) \dot V(x) V˙(x) 恒为 0,在原点是李氏意义下的稳定 4、 V ( x ) V(x) V(x)正定, V ˙ ( x ) \dot V(x) V˙(x)正定，在原点是不稳定的 5、 V ( x ) V(x) V(x)正定, V ˙ ( x ) \dot V(x) V˙(x)正半定，在非零状态 V ˙ ( x ) \dot V(x) V˙(x) 不恒为 0,在原点是不稳定的 6、 V ( x ) V(x) V(x)正定, V ˙ ( x ) \dot V(x) V˙(x)正半定，在非零状态 V ˙ ( x ) \dot V(x) V˙(x) 恒为 0,在原点是李氏意义下的稳定

选定正定二次型函数 V ( x ) V(x) V(x)为李氏函数 V ( x ) = x T P x V(x)=x^TPx V(x)=xTPx V ˙ ( x ) = x T ( P A + A T P ) x \dot V(x)=x^T(PA+A^TP)x V˙(x)=xT(PA+ATP)x 令 Q = − ( P A + A T P ) Q=-(PA+A^TP) Q=−(PA+ATP) 如果Q正定，则系统是大范围渐进稳定的 判定稳定性的步骤： 1、选取正定矩阵Q（通常是单位阵） 2、由 Q = − ( P A + A T P ) Q=-(PA+A^TP) Q=−(PA+ATP)求P 3、判断P的正定性 4、稳定性结论

x ˙ = f ( x ) \dot x=f(x) x˙=f(x) 判定稳定性的步骤： 1、求雅可比矩阵 2、克拉索夫斯基表达式： Q ( x ) = − [ J T + J ] Q(x)=-[J^T+J] Q(x)=−[JT+J] 3、判断Q的正定性 4、稳定性结论 PS：克拉索夫斯基定理只是渐近稳定的一个充分条件不是必要条件

1、设 ∇ V = \nabla V= ∇V= 2、 V ˙ ( x ) = ( ∇ V ) T x ˙ \dot V(x)=(\nabla V)^T\dot x V˙(x)=(∇V)Tx˙ 限定 V ˙ ( x ) \dot V(x) V˙(x)为负定 3、利用 n ( n − 1 ) 2 \frac{n(n-1)}{2} 2n(n−1)​个旋度方程确定 ∇ V \nabla V ∇V中的未知数 4、计算并验证V正定性 5、确定系统渐进稳定的范围