群、环、域对比 |
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最近用到了抽象代数的相关知识,简单回顾一下 从群到环,再到域,这是一个条件逐渐收敛的过程 1.群设G是一个非空集合,如果在G上定义了一个二元运算“·”,称为乘法(或“+”,称为加法),满足: (1)对于G中任意元素a,b,c,有a·(b·c)=(a·b)·c;(结合律) (2)存在e∈G,使得对任意a∈G都有e·a=a;(单位元) (3)对于任意a∈G,都存在b∈G使得b·a=e;(逆元) 则称(G,·)为一个群。群是定义了一个二元运算“·”的代数结构。 如果非空集合G只满足上面条件中的(1),则称G为半群(semigroup)。全体整数Z、全体有理数Q、全体实数R均对数的乘法构成一个半群。 2.环设R是一个非空集合,在其上定义两个二元运算,一个叫加法,记作"+",一个叫乘法,记作"·",满足: (1)(R,+)是一个交换群; (2)(R,·)是一个半群; (3)乘法对加法成立左、右分配律,即对R中任意元素a,b,c,有: a·(b+c)=a·b+a·c;(b+c)·a=b·a+c·a, 则称(R,+,·)为一个环(ring)。 关于环的概念我们需要注意以下几点: 1)定义中的运算“+”与“·”是抽象运算,不一定是我们通常在整数中定义 2)当环R中的运算“·”满足交换律时,我们称环R为交换环。 3)当环R中存在元素e,使得对环R中任意一个元素a都有e·a=a·e=a时,我们称e为环R的单位元,并且称环R为含单位元的环。通常在不会产生混淆时,a.b简记为ab; 加法单位元一般记作0,称为零元; 乘法单位元一般记作1。同样这里0和1也是抽象元,不同于整数0和整数1。 举个栗子: 在通常意义的加法、乘法运算下,Z(整数集,它包括全体正整数、全体负整数和零),Q,R,C(复数集合)均构成环,且是交换环,加法单位元0即为数0,乘法单位元1即为数1。Z中所有m(m>1为整数)的倍数构成的集合mZ也对数的加法和乘法构成一个环。R上的全体一元多项式对多项式的加法和乘法也构成一个环。 整环:含有单位元的交换环,若没有零因子,则称之为整环。 Z,Q,R,C均为整环 除环或斜域:如果一个环中的非零元全体在乘法运算“·”下构成群,则称该环位除环(或斜域) 幺环:环R的乘法具有幺元(记为1)。显然,整数环Z是幺环,而全体偶数2Z不是幺环。 左零因子:设R是一个环,a∈R,a≠0,若存在b∈R,b≠0使得ab=0,则a称为一个左零因子(left zero divisor)。同样可定义右零因子。显然,整数环Z中没有零因子。如果环R中无零因子,则在其中消去律成立,即由ab=ac,a≠0可推出b=c。 3.域域在交换环的基础上,还增加了二元运算除法,要求元素(除零以外)可以作除法运算,即每个非零的元素都要有乘法逆元。即域是可交换的除环,是一个具有加法和乘法两种运算的非空集合,该集合关于加法运算构成Abel群,该集合中的非零元全体关于乘法运算也构成Abel群,且乘法对加法满足分配律。 设F为至少含两个元素的交换幺环,且全体非零元素对乘法构成一个群,则称环F为一个域(field)。 由于域F中每个非零元素a都有逆元素a⁻¹,这样由ab=0,b≠0就有b=a⁻¹(ab)=0,因此域一定是整环。由于整环Z中并非每个非零元素都有逆,因此它并不是域,这说明整环不一定是域。但是可以证明:有限整环一定是域。 若域F是复数域C的子集,则称F为数域。在数域F中,加、减、乘、除(除数不为零)的结果均在F内,这便得出有理数域是最小的数域。 例:Q,R,C均为域,而Z不是域(非零整数集 |
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