Baire 纲定理大概是说, 一个完备的度量空间不能太稀疏. 这里的 “稀疏” 是用所谓第一纲集的概念来刻画的. 历史上, Baire 用它来研究函数的分类.

我们从无处稠密的概念开始.

定义 1.1. 设 X 是拓扑空间. 称子集 E⊂X 无处稠密, 如果 E 的闭包的内部 (Eˉ)∘=∅.

一些简单的例子是: R 的有限子集都是无处稠密的; Cantor 集也是无处稠密的.

引理 1.2. 设 (X,ρ) 是度量空间, 则 E⊂X 是无处稠密的, 当且仅当对任意的球 B(x0​,r0​), 总是存在球 B(x1​,r1​)⊂B(x0​,r0​), 使得 Eˉ∩Bˉ(x1​,r1​)=∅.

证明概要. 必要性: 因为 Eˉ 没有内点, 故不能包含任意球, 取 x1​∈B(x0​,r0​)∖Eˉ, 然后以 x1​ 为中心作足够小的球.

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定义 1.3. 拓扑空间 X 的子集 E 被称为是第一纲集, 如果它是可数个无处稠密集的并集. 不是第一纲集的集合叫做第二纲集.

显然, 可数个第一纲集的并集是第一纲集.

定理 1.4 (Baire 纲定理). 完备的度量空间是第二纲集.