方格子的霍夫斯塔特蝴蝶（附Python代码） |
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方格子的霍夫斯塔特蝴蝶（附Python代码）
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发布时间：2021年1月7日2022年7月14日 最近修改时间：2022年7月14日 霍夫斯塔特蝴蝶（Hofstadter butterfly）的文献：Douglas R. Hofstadter, "Energy levels and wave functions of Bloch electrons in rational and irrational magnetic fields", Phys. Rev. B 14, 2239 (1976). 有限体系方格子的哈密顿量：方格子模型在实空间中的哈密顿量形式。 引入磁场：佩尔斯替换 Peierls substitution。 霍夫斯塔特蝴蝶的代码为： """ This code is supported by the website: https://www.guanjihuan.com The newest version of this code is on the web page: https://www.guanjihuan.com/archives/8491 """ import numpy as np import cmath import matplotlib.pyplot as plt def main(): for n in np.arange(1, 11): print('n=', n) width = n length = n B_array = np.arange(0, 1, 0.001) eigenvalue_all = np.zeros((B_array.shape[0], width*length)) i0 = 0 for B in B_array: # print(B) h = hamiltonian(width, length, B) eigenvalue, eigenvector = np.linalg.eig(h) eigenvalue_all[i0, :] = np.real(eigenvalue) i0 += 1 plt.plot(B_array, eigenvalue_all, '.r', markersize=0.5) plt.title('width=length='+str(n)) plt.xlabel('B*a^2/phi_0') plt.ylabel('E') plt.savefig('width=length='+str(n)+'.jpg', dpi=300) plt.close('all') # 关闭所有plt，防止循环画图时占用内存 # plt.show() def hamiltonian(width, length, B): # 方格子哈密顿量 h = np.zeros((width*length, width*length), dtype=complex) # y方向的跃迁 for x in range(length): for y in range(width-1): h[x*width+y, x*width+y+1] = 1 h[x*width+y+1, x*width+y] = 1 # x方向的跃迁 for x in range(length-1): for y in range(width): h[x*width+y, (x+1)*width+y] = 1*cmath.exp(-2*np.pi*1j*B*y) h[(x+1)*width+y, x*width+y] = 1*cmath.exp(2*np.pi*1j*B*y) return h if __name__ == "__main__": main()计算结果为： 
参考资料： [1] Landau levels, molecular orbitals, and the Hofstadter butterfly in finite systems [2] 知乎：二维方格Hofstadter's butterfly [3] 知乎：什么是凝聚态中的 Hofstadter butterfly（霍夫斯塔特蝴蝶）？ 3,892 次浏览【说明：本站主要是个人的一些笔记和代码分享，内容可能会不定期修改。为了使全网显示的始终是最新版本，这里的文章未经同意请勿转载。引用请注明出处：https://www.guanjihuan.com】 
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