昨天，我们写了【微观经济学】消费者行为理论：偏好与效用今天，接着写一下无差异曲线和几个特殊的效用函数。之前，我们谈到序数效用论是对效用进行衡量和比较的一种方法，那么无差异曲线就是进行衡量和比较的工具。

1无差异曲线无差异曲线是由一系列对于个人来说效用相同的消费组合（x，y）构成的点的集合。即这条曲线上的所有消费组合能带给个人相同的效用。

如上图中消费组合(x1,y1)和(x2,y2)均在一条无差异曲线U1上，那么这两个消费组合对个人来说是无差异的。根据无差异曲线我们定义了边际替代率。边际替代率为无差异曲线上某一点斜率的负值，记为MRS（marginal rate of substitution）。 （部分教材在符号上可能有差异）公式可以表示为：

其实，边际替代率表示了在不同消费组合带给个人相同效用时，个人愿意用一种商品y去交换另一种商品x的意愿。比如在(x1,y1)时，y的数量相对较多，那么个人用y去交换x的意愿程度就高，MRS就大，在(x2,y2)时，y的数量相对较少，个人用y去交换x的意愿程度就不如(x1,y1)的时候高，MRS就会下降。在下图x-y的坐标系中，密集的排列着无数条无差异曲线，每条无差异曲线代表着不同的效用水平。当商品x,y都为经济品（多多益善）时，那么效用水平向右上角的方向增加，即U3>U2>U1.

无差异曲线的传递性：这个性质与之前说的偏好关系的传递性类似，这里的主要是为了说明两条无差异曲线不可能相交。从下图中，我们可以看到两条无差异曲线相交于E点，即E点同时存在于两条无差异曲线，代表在E点的消费组合能带给个人的不同的效用，这显然是不符合事实的。应用传递性定理，U(A)>U(B),U(C)>U(D),U(B)=U(C),可以得到U(A)>U(D),这与U(A)=U(D)相悖。故无差异曲线不能相交。

无差异曲线的凸性：我们先对数学中凸集做一个说明，如果集内任何两点用直线相连，直线完全在集内，那么为凸集，否则为凹集。如下面左图为凸集，右图为凹集。这个概念很重要，经济学中很多地方会用到。

针对无差异曲线我们需要假定边际替代率递减，从上面的边际替代率的分析中我们可以发现这样的假定符合一定的现实意义，这个假定就相当于所有好于或者相当于(x*,y*)组合的所有(x,y)的消费组合构成一个凸集（见下左图a），即无差异曲线的凸性。而下右图b，(x,y)的消费组合并没有形成凸集，其无差异曲线不具有凸性，每一点上的边际替代率并不能都保证递减。

凸性与消费平衡：这个说的是无差异曲线是凸的，即服从边际替代率递减，那么曲线上任何两点间的连线上的点代表的消费组合都比初始的消费组合要好，因为其代表的效用更高，即平衡组合优于不平衡组合。简单理解，凸集内的组合都要比凸集边缘上的组合要好。如下图中[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]的消费组合要比(x1,y1)和(x2,y2)更好，因为前者代表了更高的效用水平。

数学推导：MRSU(x,y)表示一个人从两种商品中获得的效用，对其进行全微分有：

对于任何一条给定的无差异曲线，dU=0（因为U为常量），故上式可以变为：

上式所描述的就是边际替代率MRS等于x的边际效用(∂U/∂x)与y的边际效用(∂U/∂y)之比。

2特定偏好的效用函数

（a）柯布道格拉斯效用函数，一般假定α+β=1，α和β的大小代表了两种商品x和y对于个人的相对重要程度。

（b）完全替代效用函数，这个函数的MRS不会递减，其无差异曲线上每一点的斜率均相等。

（c）完全互补效用函数，这个函数的特点是选择x，y两种商品具有固定比例的关系（选择一般都会落在无差异曲线的顶点处），效用的大小取决于αx和βy 中较小的那个。

（d）CES效用函数，其中δ≤1,δ≠0，上面的三种形式的效用函数均是CES效用函数的特例，也就是说从CES效用函数可以推出上面的三种形式。

这四个效用函数中，（a）和（d）的使用频率会很高，故为重中之重，而且（d）也具有其他的形式，今天的内容由于篇幅有限，不多赘述，日后会有详细说明。b和c两种形式在习题中练习一二即可。

同位偏好这是由MRS引出来的一个概念，说的是如果效用函数U(x,y)的MRS只取决于两种商品x和y的数量之比，与商品数量的总量无关时，我们称U(x,y)所表示的偏好为同位偏好，效用函数是同位的，即MRS不会随着x和y的同比例变动而变化。否则，就是非同位偏好。上面四个特殊的效用函数都是同位的，非同位的效用函数给大家一个例子，U(x,y)=x+lny，其MRS=y，当x和y同比例变动时，MRS会变化。今天的内容就是这些，如果对你有帮助的话，请帮忙点击在看，分享至朋友圈，谢谢！往期内容：【微观经济学】讲了什么：理论框架【微观经济学】消费者行为理论：偏好与效用【宏观经济学】IS-LM模型的基石：凯恩斯交叉的模型【宏观经济学】宏观经济分析的重要模型：IS-LM模型总需求和总供给：AD-AS模型【宏观经济学】经济增长理论的基础模型：索洛-斯旺模型下面扫一扫关注我吧！