我们知道线性相位就是相位是一次函数的关系，当然这里面还细分成了严格的线性相位和非严格的线性相位。那么他们究竟是怎么来的呢？我们今天来推导一下，同时，我们将会给出一种如何用时域信号通过对称性的关系计算除频域以及相位的方法。

我们假设一个长度为8的序列。

那么我们可以很容易得到它的频谱表达式： X ( e j ω ) = ∑ n = 0 N − 1 x [ n ] e − j ω n X(e^{j\omega})=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j\omega n} X(ejω)=n=0∑N−1​x[n]e−jωn 那么具体展开就可以得到： X ( e j ω ) = x [ 0 ] + x [ 1 ] e − j ω + x [ 2 ] e − 2 j ω + x [ 3 ] e − 3 j ω + x [ 4 ] e − 4 j ω + x [ 5 ] e − 5 j ω + x [ 6 ] e − 6 j ω + x [ 7 ] e − 7 j ω + x [ 8 ] e − 8 j ω X(e^{j\omega}) = x[0]+x[1]e^{-j\omega}+x[2]e^{-2j\omega} + x[3]e^{-3j\omega}+x[4]e^{-4j\omega}+x[5]e^{-5j\omega}+x[6]e^{-6j\omega}+x[7]e^{-7j\omega}+x[8]e^{-8j\omega} X(ejω)=x[0]+x[1]e−jω+x[2]e−2jω+x[3]e−3jω+x[4]e−4jω+x[5]e−5jω+x[6]e−6jω+x[7]e−7jω+x[8]e−8jω

接下来由于序列是对称的，也就是说： x [ 0 ] = x [ 8 ] , x [ 1 ] = x [ 7 ] , ⋯ x[0]=x[8],x[1]=x[7],\cdots x[0]=x[8],x[1]=x[7],⋯，那么我们就把这些项合并一下，我们具体看一个 x [ 0 ] x[0] x[0] 和 x [ 8 ] x[8] x[8] 的合并： x [ 0 ] + x [ 8 ] e − 8 j ω = x [ 0 ] e − 4 j ω ( e 4 j ω + e − 4 j ω ) = 2 x [ 0 ] e − 4 j ω c o s ( 4 ω ) x[0]+x[8]e^{-8j\omega} = x[0]e^{-4j\omega}(e^{4j\omega}+e^{-4j\omega})=2x[0]e^{-4j\omega}cos(4\omega) x[0]+x[8]e−8jω=x[0]e−4jω(e4jω+e−4jω)=2x[0]e−4jωcos(4ω)

再看一个 x [ 1 ] x[1] x[1] 和 x [ 7 ] x[7] x[7]的合并： x [ 1 ] e − j ω + x [ 7 ] e − 7 j ω = x [ 1 ] e − 4 j ω ( e 3 j ω + e − 3 j ω ) = 2 x [ 1 ] e − 4 j ω c o s ( 3 ω ) x[1]e^{-j\omega} + x[7]e^{-7j\omega} = x[1]e^{-4j\omega}(e^{3j\omega}+e^{-3j\omega})=2x[1]e^{-4j\omega}cos(3\omega) x[1]e−jω+x[7]e−7jω=x[1]e−4jω(e3jω+e−3jω)=2x[1]e−4jωcos(3ω)

以此类推，我们就可以得到整个合并之后的表达式： X ( e j ω ) = 2 x [ 0 ] e − 4 j ω c o s ( 4 ω ) + 2 x [ 1 ] e − 4 j ω c o s ( 3 ω ) + 2 x [ 2 ] e − 4 j ω c o s ( 2 ω ) + 2 x [ 3 ] e − 4 j ω c o s ( ω ) + x [ 4 ] e − 4 j ω X(e^{j\omega}) =2x[0]e^{-4j\omega}cos(4\omega)+2x[1]e^{-4j\omega}cos(3\omega)+2x[2]e^{-4j\omega}cos(2\omega)+2x[3]e^{-4j\omega}cos(\omega)+x[4]e^{-4j\omega} X(ejω)=2x[0]e−4jωcos(4ω)+2x[1]e−4jωcos(3ω)+2x[2]e−4jωcos(2ω)+2x[3]e−4jωcos(ω)+x[4]e−4jω

也就是： X ( e j ω ) = e − 4 j ω { 2 x [ 0 ] c o s ( 4 ω ) + 2 x [ 1 ] c o s ( 3 ω ) + 2 x [ 2 ] c o s ( 2 ω ) + 2 x [ 3 ] c o s ( ω ) + x [ 4 ] } X(e^{j\omega}) = e^{-4j\omega}\{2x[0]cos(4\omega)+2x[1]cos(3\omega)+2x[2]cos(2\omega)+2x[3]cos(\omega) + x[4]\} X(ejω)=e−4jω{2x[0]cos(4ω)+2x[1]cos(3ω)+2x[2]cos(2ω)+2x[3]cos(ω)+x[4]}

那么我们就得到了频谱的幅值是： 2 x [ 0 ] c o s ( 4 ω ) + 2 x [ 1 ] c o s ( 3 ω ) + 2 x [ 2 ] c o s ( 2 ω ) + 2 x [ 3 ] c o s ( ω ) + x [ 4 ] 2x[0]cos(4\omega)+2x[1]cos(3\omega)+2x[2]cos(2\omega)+2x[3]cos(\omega) + x[4] 2x[0]cos(4ω)+2x[1]cos(3ω)+2x[2]cos(2ω)+2x[3]cos(ω)+x[4]

而我们重点来看它的相位谱就是： θ ( ω ) = − 4 ω + β θ(\omega) = -4\omega+β θ(ω)=−4ω+β 其中， β β β可以取 0 或 π \pi π，因此我们就说第一类函数是严格的线性相位传输函数。

群延时可以直接拿 θ ( ω ) θ(\omega) θ(ω) 对 ω \omega ω 求导即可。

我们以长度为8的无对称中心的反对称序列为例。还是一样，我们根据定义写出频谱的表达式： X ( e j ω ) = x [ 0 ] + x [ 1 ] e − j ω + x [ 2 ] e − 2 j ω + x [ 3 ] e − 3 j ω + x [ 4 ] e − 4 j ω + x [ 5 ] e − 5 j ω + x [ 6 ] e − 6 j ω + x [ 7 ] e − 7 j ω X(e^{j\omega}) = x[0]+x[1]e^{-j\omega}+x[2]e^{-2j\omega} + x[3]e^{-3j\omega}+x[4]e^{-4j\omega}+x[5]e^{-5j\omega}+x[6]e^{-6j\omega}+x[7]e^{-7j\omega} X(ejω)=x[0]+x[1]e−jω+x[2]e−2jω+x[3]e−3jω+x[4]e−4jω+x[5]e−5jω+x[6]e−6jω+x[7]e−7jω

由于是反对称，所以有： x [ 0 ] = − x [ 7 ] , x [ 1 ] = − x [ 6 ] , ⋯ x[0] = -x[7], x[1] = -x[6], \cdots x[0]=−x[7],x[1]=−x[6],⋯，所以我们也是一样做一下合并。

先看看 x [ 0 ] x[0] x[0] 和 x [ 7 ] x[7] x[7] 的合并： x [ 0 ] + x [ 7 ] e − 7 j ω = x [ 0 ] ( 1 − e − 7 j ω ) = x [ 0 ] e − 7 2 j ω ( e 7 2 j ω − e − 7 2 j ω ) x[0] + x[7]e^{-7j\omega} = x[0](1-e^{-7j\omega})=x[0]e^{-\frac{7}{2}j\omega}(e^{\frac{7}{2}j\omega}-e^{-\frac{7}{2}j\omega}) x[0]+x[7]e−7jω=x[0](1−e−7jω)=x[0]e−27​jω(e27​jω−e−27​jω)

然后我们进一步化简，得： x [ 0 ] e − 7 2 j ω ( e 7 2 j ω − e − 7 2 j ω ) = 2 x [ 0 ] j e − 7 2 j ω s i n ( 7 2 ω ) = 2 x [ 0 ] e − 7 2 j ω e π 2 s i n ( 7 2 ω ) x[0]e^{-\frac{7}{2}j\omega}(e^{\frac{7}{2}j\omega}-e^{-\frac{7}{2}j\omega})=2x[0]je^{-\frac{7}{2}j\omega}sin(\frac{7}{2}\omega) = 2x[0]e^{-\frac{7}{2}j\omega}e^{\frac{\pi}{2}}sin(\frac{7}{2}\omega) x[0]e−27​jω(e27​jω−e−27​jω)=2x[0]je−27​jωsin(27​ω)=2x[0]e−27​jωe2π​sin(27​ω)

我们再来看一个 x [ 1 ] x[1] x[1] 与 x [ 6 ] x[6] x[6] 的合并： x [ 1 ] e − j ω + x [ 6 ] e − 6 j ω = x [ 1 ] e − 7 2 j ω ( e 5 2 j ω − e − 5 2 j ω ) = 2 x [ 1 ] e − 7 2 j ω e π 2 s i n ( 5 2 ω ) x[1]e^{-j\omega}+x[6]e^{-6j\omega}=x[1]e^{-\frac{7}{2}j\omega}(e^{\frac{5}{2}j\omega}-e^{-\frac{5}{2}j\omega})=2x[1]e^{-\frac{7}{2}j\omega}e^{\frac{\pi}{2}}sin(\frac{5}{2}\omega) x[1]e−jω+x[6]e−6jω=x[1]e−27​jω(e25​jω−e−25​jω)=2x[1]e−27​jωe2π​sin(25​ω)

以此类推，我们就可以得到整个化简之后的表达式： X ( e j ω ) = e − 7 2 j ω e π 2 { 2 x [ 0 ] s i n ( 7 2 ω ) + 2 x [ 1 ] s i n ( 5 2 ω ) + 2 x [ 2 ] s i n ( 3 2 ω ) + 2 x [ 3 ] s i n ( 1 2 ω ) } X(e^{j\omega}) =e^{-\frac{7}{2}j\omega}e^{\frac{\pi}{2}}\{2x[0]sin(\frac{7}{2}\omega)+2x[1]sin(\frac{5}{2}\omega)+2x[2]sin(\frac{3}{2}\omega)+2x[3]sin(\frac{1}{2}\omega)\} X(ejω)=e−27​jωe2π​{2x[0]sin(27​ω)+2x[1]sin(25​ω)+2x[2]sin(23​ω)+2x[3]sin(21​ω)}

我们就可以发现，此时它的相位谱就是： θ ( ω ) = − 7 2 ω + π 2 + β θ(\omega) = -\frac{7}{2}\omega+\frac{\pi}{2}+β θ(ω)=−27​ω+2π​+β 其中， β β β 可以是 0 或者 π \pi π. 我们就发现这个第四型线性相位滤波器就不是一个非常严格的线性相位了，因为有了一个附加相移。

我们把两个最典型的情况跟大家分析了一下，剩下的第Ⅱ、第Ⅲ型大家完全可以按照上面的方法自己推导一下噢！