∮ s A ⃗ ⋅ S ⃗ = ∫ v ∇ ⋅ A ⃗ d V \oint_{s}\vec{A}\cdot\vec{S}= \int_{v} \nabla\cdot\vec{A}dV ∮s​A ⋅S =∫v​∇⋅A dV 回顾散度定义: ∇ ⋅ A ⃗ = lim ⁡ Δ V → 0 ∫ A ⃗ ⋅ d S ⃗ Δ V \nabla \cdot \vec{A}=\lim_{\Delta V \to 0} \frac{\int \vec{A} \cdot d\vec{S}}{\Delta V} ∇⋅A =limΔV→0​ΔV∫A ⋅dS ​ ，表示穿过单位体积封闭曲面的通量，利用微元小块内部面相互抵消形象理解该定理

散度对应面积，散度的三维降维成二维

∮ l A ⃗ ⋅ l ⃗ = ∫ ∇ × A ⃗ ⋅ d S ⃗ \oint_{l}\vec{A} \cdot \vec{l}=\int \nabla \times \vec{A} \cdot d\vec{S} ∮l​A ⋅l =∫∇×A ⋅dS ∇ × A ⃗ = lim ⁡ Δ S → 0 ∮ A ⃗ ⋅ d l ⃗ Δ S \nabla \times \vec {A} =\lim_{\Delta S \to 0}\frac{\oint \vec{A} \cdot d \vec{l}}{\Delta S} ∇×A =limΔS→0​ΔS∮A ⋅dl ​

旋度对应线量，也可以整体升维使用，旋度的二维降维成一维

注意斯托克斯定理和高斯定理仅仅表示数值上相等，等式两侧的物理意义是不同的。定义式右边实质上是微分形式，因此定义式两边同时积分可得定理形式