如图所示一个低通滤波器，列基尔霍夫方程，得到线性微分方程： \[ C{\frac {dV_C}{dt}}+{\frac {V_R}{R}}=0 \]

正是因为电感电容的存在，使得电路方程出现微分、积分项。而Laplace变换将微分方程转化为线性代数方程，成为快速求解微分方程的有力工具。

但是列出电路的微分方程之后再进行Laplace变换，求解之后再进行反变换仍然很复杂，聪明的电子工程师们便想到直接将电路中的电阻器 ®、 电容器 © 和电感元件 (L)变换到s域。

于是这个电路可以看作一个分压器

V C ( s ) V i n ( s ) = 1 / C s R + 1 / C s = 1 1 + R C s \frac{V_{C}(s)}{V_{{in}}(s)}={\frac {1/Cs}{R+1/Cs}}={\frac {1}{1+RCs}} Vin​(s)VC​(s)​=R+1/Cs1/Cs​=1+RCs1​

下面便引出系统的传输函数。

对于最简单的连续时间输入信号 x ( t ) x(t) x(t) , 和输出信号 y ( t ) y(t) y(t) 来说传递函数 H ( s ) H(s) H(s) 所反映的就是零状态条件下输入信号的拉普拉斯变换 X ( s ) = L { x ( t ) } X(s)={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\} X(s)=L{x(t)} 与输出信号的拉普拉斯变换 Y ( s ) = L { y ( t ) } Y(s)={\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\} Y(s)=L{y(t)} 之间的线性映射关系：

Y ( s ) = H ( s ) X ( s ) Y(s) = H(s) X(s) Y(s)=H(s)X(s) 或者 H ( s ) = Y ( s ) X ( s ) = L { y ( t ) } L { x ( t ) } H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{ \mathcal{L} \left\{ y(t) \right\} }{\mathcal{L} \left\{ x(t) \right\} } H(s)=X(s)Y(s)​=L{x(t)}L{y(t)}​

而当系统为封闭回路的负反馈系统时：

由上图可得：

Y ( s ) = Z ( s ) G ( s ) ⇒ Z ( s ) = Y ( s ) G ( s ) Y(s)=Z(s)G(s)\Rightarrow Z(s)={\dfrac {Y(s)}{G(s)}} Y(s)=Z(s)G(s)⇒Z(s)=G(s)Y(s)​ X ( s ) − Y ( s ) H ( s ) = Z ( s ) = Y ( s ) G ( s ) ⇒ X ( s ) = Y ( s ) [ 1 + G ( s ) H ( s ) ] / G ( s ) X(s)-Y(s)H(s)=Z(s)={\dfrac {Y(s)}{G(s)}}\Rightarrow X(s)=Y(s)\left[{1+G(s)H(s)}\right]/G(s) X(s)−Y(s)H(s)=Z(s)=G(s)Y(s)​⇒X(s)=Y(s)[1+G(s)H(s)]/G(s) ⇒ Y ( s ) X ( s ) = G ( s ) 1 + G ( s ) H ( s ) \Rightarrow {\dfrac {Y(s)}{X(s)}}={\dfrac {G(s)}{1+G(s)H(s)}} ⇒X(s)Y(s)​=1+G(s)H(s)G(s)​

传递函数可以写成如下更加普遍的形式： X ( s ) = N ( s ) D ( s ) = M ∏ i = l R ( s − β i ) ∏ j = l R ( s − α j ) X(s) = \frac{N(s)}{D(s)} = M \frac{\prod_{i=l}^{R}(s-\beta_{i})}{\prod_{j=l}^{R}(s-\alpha_{j})} X(s)=D(s)N(s)​=M∏j=lR​(s−αj​)∏i=lR​(s−βi​)​ 所有让分母 D ( s ) D(s) D(s) 为0等点 s z s_z sz​ 为系统的零点； 所有让分子 N ( s ) N(s) N(s) 为0等点 s p s_p sp​ 为系统的零点；

考虑一个由一个零点和两个极点组成的系统，在极坐标上表示为下图：

从上图中可以看出傅立叶变换和拉普拉斯变换的关系： 傅立叶变换为拉普拉斯变换在s平面虚轴 j ω j\omega jω 上的求值。

由此，引出波特图。

从上图中可以看到，系统的传递函数 H ( J ω ) H(J\omega) H(Jω) 其实就是将复平面中极点零点到虚轴上某一点的向量相乘除：

H ( j ω ) = N → M 1 → M 2 → = j ω − z 1 ( j ω − p 1 ) ( j ω − p 2 ) H(j\omega) = \frac{\stackrel{\rightarrow}{N}}{\stackrel{\rightarrow}{M_1} \stackrel{\rightarrow}{M_2}} = \frac{j\omega - z_1}{(j\omega - p_1)(j\omega - p_2)} H(jω)=M1​→​M2​→​N→​​=(jω−p1​)(jω−p2​)jω−z1​​

表示为幅度（取对数）和相位：

20 log ⁡ 10 ∣ H ( j ω ) ∣ = 20 log ⁡ 10 ∣ j ω − z 1 ∣ ∣ j ω − p 1 ∣ ∣ j ω − p 2 ∣ 20\log_{10} |H(j\omega)| = 20\log_{10}\frac{| j\omega- z_1| }{| j\omega - p_1| |j\omega - p_2|} 20log10​∣H(jω)∣=20log10​∣jω−p1​∣∣jω−p2​∣∣jω−z1​∣​ ∠ H ( j ω ) = e j ( α 1 − α 2 − α 3 ) \angle H(j\omega) = e^{j(\alpha1 - \alpha2 - \alpha3)} ∠H(jω)=ej(α1−α2−α3)

其中 α 1 , α 2 , α 3 \alpha1, \alpha2, \alpha3 α1,α2,α3 为图中向量的角度，由此便可以画出波特图。

下面以一个低通RC滤波器电路举例：

H ( j f ) = 1 1 + j 2 π f R C H(jf) = \frac{1}{1+j2\pi f R C} H(jf)=1+j2πfRC1​ ω c = 1 R C \omega_\mathrm{c} = {1 \over {RC}} ωc​=RC1​ H ( j ω ) = 1 1 + j ω ω c H(j\omega) = {1 \over 1+j{\omega \over {{\omega_\mathrm{c}}}}} H(jω)=1+jωc​ω​1​

画出波特图如下：

下面介绍如何得到上图。

A v d B = 20 log ⁡ ∣ H ( j ω ) ∣ = 20 log ⁡ 1 ∣ 1 + j ω ω c ∣ A_\mathrm{vdB} = 20 \log|H(j\omega)| = 20 \log {1 \over \left|1+j{\omega \over {{\omega_\mathrm{c}}}}\right|} AvdB​=20log∣H(jω)∣=20log∣∣∣​1+jωc​ω​∣∣∣​1​ = − 20 log ⁡ ∣ 1 + j ω ω c ∣ = − 10 log ⁡ [ 1 + ω 2 ω c 2 ] = - 20\log \left|1+j{\omega \over {{\omega_\mathrm{c}}}}\right| = -10\log{\left[1 + \frac{\omega^2}{\omega_\mathrm{c}^2}\right]} =−20log∣∣∣∣​1+jωc​ω​∣∣∣∣​=−10log[1+ωc2​ω2​]

φ = − tan ⁡ − 1 ω ω c \varphi = -\tan^{-1}{\omega \over {\omega_\mathrm{c}}} φ=−tan−1ωc​ω​

注意 ：通常我们说波特图中遇到一个极点幅度开始以20dB／十倍频的斜率下降，在极点处相移为-45度；零点则是幅度上升，相移45度。

有人会疑问零点、极点不应该使得传递函数为零或者无穷大吗？

其实从s平面那幅图可以看出，其实我们所谓的在波特图中遇到的零点极点，并不是s平面中由传递函数公式求解出的零点极点。只有当零点或者极点真的出现在虚轴 j ω j\omega jω 上时，该频率的输入才会导致零输出或者无穷大输出。

对于一个负反馈系统：

Y X ( s ) = H ( s ) 1 + β H ( s ) \frac{Y}{X}(s) = \frac{H(s)}{1+\beta H(s)} XY​(s)=1+βH(s)H(s)​ 如果 β H ( s ) = − 1 \beta H(s) = -1 βH(s)=−1 则增益为无穷，电路产生振荡，此条件可表达为：

∣ β H ( s ) ∣ ≥ 1 |\beta H(s)| \ge 1 ∣βH(s)∣≥1 ∠ β H ( s ) = − 18 0 o \angle \beta H(s) = -180^{o} ∠βH(s)=−180o

上式可以理解为，输入信号经过正向通路以及反馈回路一圈之后相移360度（环路增益的180度以及负反馈叠加点的180度），使得负反馈变成正反馈。此时如果环路增益的幅度大于1，则在输入信号上不断叠加一个放大了的信号，一个发散的数列不断叠加必然是无界的。

因此，避免振荡的放法就是在环路增益相移180度时，保证其幅度小于1。（收敛序列求和是有界的）

上图中定义了“增益交点GX“、“相位交点PX“、“相位裕度PM“等概念。（注意上图为环路增益的波特图）

如果将波特图绘制到极坐标系中，可以得到奈奎斯特图：

图中红色的线为传递函数曲线，其与单位圆的交点为GX点，与实轴的另一交点为PX点，并且能直观地看出相位裕度，增益裕度。

另外如果-1这个点不被传递函数曲线包围，则系统是稳定的。

此处参照sansen书中方法

定义开环增益

A O = G A_O = G AO​=G 闭环增益 A c = G 1 + G H ≈ 1 H A_c = \frac{G}{1+GH} \approx \frac{1}{H} Ac​=1+GHG​≈H1​ 所以 d B ( A O A c ) = d B ( A O ) − d B ( A c ) ≈ d B ( G H ) dB (\frac{A_O}{A_c} )= dB (A_O ) - dB(A_c) \approx dB(GH) dB(Ac​AO​​)=dB(AO​)−dB(Ac​)≈dB(GH)

图中 A O A_O AO​ 曲线与 A c A_c Ac​ 曲线差就是环路增益，因此两条曲线（实线）交点对应的频率，也即 A O / A c = 1 A_O/A_c = 1 AO​/Ac​=1，就是环路增益降到单位增益的频率。这个点就是增益交点，可以从这个点看相位裕度。

（思考的切入点：让两条曲线相交，其实在数学上是让两个函数相等）

上图定义出增益带宽积，在闭环增益（Y/X）图中，为主极点的下降曲线与横轴的交点出的频率（单位增益）。

20 log ⁡ A O − 10 log ⁡ ( 1 + ( ω ω m a j o r ) 2 ) = 0 20\log A_O - 10\log(1+(\frac{\omega}{\omega_{major}})^2) = 0 20logAO​−10log(1+(ωmajor​ω​)2)=0 得出 ω ≈ A O × ω m a j o r ≈ A c × ω c \omega \approx A_O \times \omega_{major} \approx A_c \times \omega_c ω≈AO​×ωmajor​≈Ac​×ωc​

注意：

而180度相移点是第二个极点再往右，若f2出现在GBW点右侧，则系统相对比较稳定。

环路增益越大（图中两条曲线相差越宽），PM越小。当PM很小的时候，闭环增益曲线就会产生尖峰。

开环增益

H ( j ω ) = A O ( 1 + j ω ω 1 ) ( 1 + j ω ω 2 ) H(j\omega) = \frac{A_O}{(1+j\frac{\omega}{\omega_1})(1+j\frac{\omega}{\omega_2})} H(jω)=(1+jω1​ω​)(1+jω2​ω​)AO​​ 闭环增益 Y X = H 1 + β H = A O β A O + j ω ( 1 ω 1 + 1 ω 2 ) + ( j ω ) 2 ω 1 ω 2 \frac{Y}{X} = \frac{H}{1+\beta H} = \frac{A_O}{\beta A_O + j\omega({1 \over \omega_1} + {1 \over \omega_2}) +\frac{(j\omega)^2}{\omega_1 \omega_2} } XY​=1+βHH​=βAO​+jω(ω1​1​+ω2​1​)+ω1​ω2​(jω)2​AO​​

因为 A O × ω 1 = G B W A_O \times \omega_1 = GBW AO​×ω1​=GBW, 所以 Y X ≈ 1 1 + j ω β G B W + ( j ω ) 2 β G B W f 2 \frac{Y}{X} \approx \frac{1}{1+ \frac{j\omega}{\beta GBW} +\frac{(j\omega)^2}{ \beta GBW f_2}} XY​≈1+βGBWjω​+βGBWf2​(jω)2​1​ = 1 1 + 2 ζ ω n j ω + ( j ω ) 2 ( ω n ) 2 =\frac{1}{1+2\frac{\zeta}{\omega_n}j\omega + \frac{(j\omega)^2}{(\omega_n)^2}} =1+2ωn​ζ​jω+(ωn​)2(jω)2​1​

其中 ζ \zeta ζ 为阻尼因子， ω n \omega_n ωn​ 为谐振频率。

PM的求解需要解释一下：

因为 P M = 18 0 o + ∠ H ( G X ) PM = 180^o + \angle H(GX) PM=180o+∠H(GX)， 而对于双极点系统，有

∠ ω = e − j ( arctan ⁡ ω ω 1 + arctan ⁡ ω ω 2 ) \angle \omega = e^{-j(\arctan \frac{\omega}{\omega_1} + \arctan \frac{\omega}{\omega_2})} ∠ω=e−j(arctanω1​ω​+arctanω2​ω​)

而对于 ω = G X \omega = GX ω=GX 这个点，因为 G X > > ω 1 GX >>\omega_1 GX>>ω1​ 所以第一级已经达到90度相移。另外

G X = ω 1 ( 1 + β A O ) ≈ β ω 1 A O = β ⋅ G B W GX = \omega_1(1+\beta A_O) \approx \beta \omega_1 A_O = \beta \cdot GBW GX=ω1​(1+βAO​)≈βω1​AO​=β⋅GBW 所以

P M = 18 0 o − 9 0 o − arctan ⁡ G X ω 2 = 9 0 o − arctan ⁡ β ⋅ G B W ω 2 PM = 180^o-90^o - \arctan \frac{GX}{\omega_2} = 90^o - \arctan \frac{\beta \cdot GBW}{\omega_2} PM=180o−90o−arctanω2​GX​=90o−arctanω2​β⋅GBW​

ω n = G B W ⋅ ω 2 ⋅ β \omega_n = \sqrt{GBW \cdot \omega_2 \cdot \beta} ωn​=GBW⋅ω2​⋅β ​ ζ = 1 2 ω 2 G B W ⋅ β \zeta = {1 \over 2} \sqrt{\frac{\omega_2}{GBW \cdot \beta}} ζ=21​GBW⋅βω2​​ ​ P M = 9 0 o − arctan ⁡ β ⋅ G B W ω 2 PM = 90^o - \arctan \frac{\beta \cdot GBW}{\omega_2} PM=90o−arctanω2​β⋅GBW​

由信号系统知识可知：