集合是不能精确定义的基本概念。直观地说，把一些事物汇集到一起组成一个整体就叫集合，而这些事物就是这个集合的元素或成员。例如： 　　方程x2－1＝0的实数解集合； 　　26个英文字母的集合； 　　坐标平面上所有点的集合； 　　…… 　　集合通常用大写的英文字母来标记，例如自然数集合N(在离散数学中认为0也是自然数)，整数集合Z，有理数集合Q，实数集合R，复数集合C等。 　　表示一个集合的方法有两种：列元素法和谓词表示法，前一种方法是列出集合的所有元素，元素之间用逗号隔开，并把它们用花括号括起来。例如 　　　　　　　　　　A={a，b，c，…，z} 　　　　　　　　　　Z={0，±1，±2，…} 都是合法的表示。谓词表示法是用谓词来概括集合中元素的属性，例如集合 　　　　　　　　　　B＝{x|x∈R∧x2－1＝0} 表示方程x2－1＝0的实数解集。许多集合可以用两种方法来表示，如B也可以写成{-1，1}。但是有些集合不可以用列元素法表示，如实数集合。

下面考虑在同一层次上的两个集合之间的关系。

定义6.1 设A，B为集合，如果B中的每个元素都是A中的元素，则称B是A的子集合，简称子集。这时也称B被A包含，或A包含B，记作BA。 　　如果B不被A包含，则记作BA。 　　包含的符号化表示为 　　　　　　BAx(x∈B→x∈A) 　　例如NZQRC，但ZN。 　　显然对任何集合A都有AA。 　　隶属关系和包含关系都是两个集合之间的关系，对于某些集合可以同时成立这两种关系。例如 　　　　　　A＝{a，{a}}和{a} 既有{a}∈A，又有{a}A。前者把它们看成是不同层次上的两个集合，后者把它们看成是同一层次上的两个集合，都是正确的。

集合的基本运算有并，交，相对补和对称差。 定义6.7 设A，B为集合，A与B的并集A∪B，交集A∩B，B对A的相对补集A－B分别定义如下： 　　　　　　A∪B＝{x|x∈A∨x∈B } 　　　　　　A∩B＝{x|x∈A∧x∈B } 　　　　　　A－B＝{x|x∈A∧xB } 　　由定义可以看出，A∪B是由A或B中的元素构成，A∩B由A和B中的公共元素构成，A－B由属于A但不属于B的元素构成。例如 　　　　　　A＝{a，b，c}，B＝{a}，C＝{b，d} 则有 　　　　　　A∪B＝{a，b，c}，A∩B＝{a}，A－B＝{b，c}， 　　　　　　B－A＝，B∩C＝ 　　如果两个集合的交集为，则称这两个集合是不相交的。例如B和C是不相交的。 　　两个集合的并和交运算可以推广成n个集合的并和交： 　　　　　　A1∪A2∪…∪An＝{x|x∈A1∨x∈A2∨…∨x∈An} 　　　　　　A1∩A2∩…∩An＝{x|x∈A1∧x∈A2∧…∧x∈An} 　　上述的并和交可以推广成n个集合的并和交： 　　　　　　＝A1∪A2∪…∪An 　　　　　　＝A1∩A2∩…∩An 　　并和交运算还可以推广到无穷多个集合的情况： 　　　　　　＝A1∪A2∪… 　　　　　　＝A1∩A2∩…

使用文氏图可以很方便地解决有穷集的计数问题。首先根据已知条件把对应的文氏图画出来。一般地说，每一条性质决定一个集合。有多少条性质，就有多少个集合。如果没有特殊说明，任何两个集合都画成相交的，然后将已知集合的元素数填入表示该集合的区域内。通常从n个集合的交集填起，根据计算的结果将数字逐步填入所有的空白区域。如果交集的数字是未知的，可以设为x。根据题目中的条件，列出一次方程或方程组，就可以求得所需要的结果。例6.2 对24名会外语的科技人员进行掌握外语情况的调查。其统计结果如下：会英、日、德和法语的人分别为13，5，10和9人，其中同时会英语和日语的有2人，会英、德和法语中任两种语言的都是4人。已知会日语的人既不懂法语也不懂德语，分别求只会一种语言(英、德、法、日)的人数和会三种语言的人数。 　　解 令A，B，C，D分别表示会英、法、德、日语的人的集合。根据题意画出文氏图如图6.3所示。设同时会三种语言的有x人，只会英、法或德语一种语言的分别为y1，y2和y3人。将x和y1，y2，y3填入图中相应的区域，然后依次填入其它区域的人数。

　　根据已知条件列出方程组如下：

以上定义的并和交运算称为初级并和初级交。下面考虑推广的并和交运算，即广义并和广义交。定义6.10 设A为集合，A的元素的元素构成的集合称为A的广义并，记为∪A。符号化表示为 　　　　　　∪A＝{x|z(z∈A∧x∈z)}。  例6.4 设　 A＝{{a,b,c},{a,c,d},{a,e,f}},B＝{{a}},C＝{a,{c,d}} 则 　　　　　　∪A＝{a,b,c,d,e,f} 　　　　　　∪B＝{a} 　　　　　　∪C＝a∪{c,d} 　　　　　　∪＝ 　　根据广义并定义不难证明，若A＝{ A1,A2,…,An}，则∪A＝A1∪A2∪…∪An。 　　类似地可以定义集合的广义交。定义6.11 设A为非空集合，A的所有元素的公共元素构成的集合称为A的广义交，记为∩A。符号化表示为 　　　　　　∩A＝{x|z(z∈A→x∈z)} 　　考虑例6.4中的集合，有 　　　　　　∩A＝{a}，∩B＝{a}，∩C＝a∩{c，d} 　　细心的读者一定会注意到在定义6.11中特别强调了A是非空集合。对于空集可以进行广义并，即∪＝。但空集不可以进行广义交，因为∩不是集合，在集合论中是没有意义的。 　　和广义并类似，若A＝{A1,A2,…,An}，则∩A＝A1∩A2∩…∩An。 　　在后面的叙述中，若只说并或交，则这都是指集合的初级并或初级交；如果在并或交前边冠以“广义”两个字，则指集合的广义并或广义交。

下面的恒等式给出了集合运算的主要算律，其中A，B，C代表任意集合。

证明技巧一 　　除了以上算律以外，还有一些关于集合运算性质的重要结果。 例如： 　　　　A∩BA，A∩BB　　　　　　　(6.24) 　　　　AA∪B，BA∪B　　　　　　　(6.25) 　　　　A－BA　　　　　　　　　　　　(6.26) 　　　　A－B＝A∩～B 　　　　　　　　　(6.27) 我们只选证其中的一部分。例6.9 证明等式6.27，即A－B＝A∩～B。 　　证　对于任意的x， 　　　　x∈A－Bx∈A∧xB 　　 　　　　　x∈A∧x∈～B 　　　 　　　　x∈A∩～B 所以A－B＝A∩～B。 　　等式6.27把相对补运算转换成交运算，这在证明有关相对补的恒等式中是很有用的。 例6.10 证明(A－B)∪B＝A∪B 　　证 　　　　　　　　(A－B)∪B 　　　　　　　＝(A∩～B)∪B 　　　　　　　＝(A∪B)∩(～B∪B) 　　　　　　　＝(A∪B)∩E 　　　　　　　＝A∪B

1.选择适当的谓词表示下列集合：　(1)小于5的非负整数　(2)奇整数集合　(3)10的整倍数的集合2.用列元素法表示下列集合：　(1)S1＝{x|x是十进制的数字}　(2)S2＝{x|x＝2∨x＝5}　(3)S3＝{x|x＝x∈Z∧3{a，b}}}{a，b}}}