集合有 并、交、差、补 四种基本运算。

定义 1（集合的并）：设 \(A,B\) 为两个集合，则由集合 \(A\) 和集合 \(B\) 中的所有元素汇集而成的集合称为集合 \(A\) 和集合 \(B\) 的 并。记作 \(A \cup B\)。即：

或者用纯粹的逻辑符号表示：

推广：设 \(A_1,A_2,\cdots,A_n\) 为 \(n\) 个集合，则 \(n\) 个集合的并集可表示为：

可简单地记作：\(\underset{i=1}{\overset{n}{\cup}}{A_i}\)，即

定义 2（集合的交）：设 \(A,B\) 为两个集合，则由集合 \(A\) 和集合 \(B\) 中的公共元素汇集而成的集合称为集合 \(A\) 和集合 \(B\) 的 交。记作 \(A \cap B\)。即：

或者用纯粹的逻辑符号表示：

推广：设 \(A_1,A_2,\cdots,A_n\) 为 \(n\) 个集合，则 \(n\) 个集合的并集可表示为：

可简单地记作：\(\underset{i=1}{\overset{n}{\cap}}{A_i}\)，即

定义 3（集合的差）：设 \(A,B\) 为两个集合，则由属于集合 \(A\) 但不属于集合 \(B\) 的所有元素汇集的集合称为集合 \(A\) 与集合 \(B\) 的 差。记作 \(A \setminus B\) 或 \(A -B\)。即：

定义4 （集合的补）：设 \(A,X\) 为两个集合，且集合 \(A\) 是集合 \(X\) 的子集，则集合 \(X\) 与集合 \(A\) 的差集称为集合 \(A\) 关于集合 \(X\) 的 补。记作 \(A_{X}^{C} = X \setminus A\)，或者简记为 \(A^{C} = X \setminus A\)。即

显然集合的 差 与 补 满足：

定理 1：设 \(A,B,C,X\) 均为集合，且 \(A,B,C\) 是集合 \(X\) 的子集，则：

\(\mathbf{1.} ~ \text{交换律}\)：

\(\mathbf{2.} ~ \text{结合律}\)：

\(\mathbf{3.} ~ \text{分配律}\)：

\(\mathbf{4.} ~ \text{对偶律}(De ~ Morgan \text{公式})\)：

[1] 陈纪修,于崇华,金路著. 数学分析 上 第2版. 北京：高等教育出版社, 2004.06. [2] 华东师范大学数学系编. 数学分析 上 第4版. 北京：高等教育出版社, 2010.07. [3] 周性伟. 实变函数 第2版. 北京：高等教育出版社, 2007.01.

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