1. 设 Z 为 整 数 集 ， A 为 集 合 ， A 的 幂 集 为 P ( A ) , + − / 为 数 的 加 减 除 运 算 ， ∩ 为 集 合 的 交 运 算 ， 下 列 系 统 中 是 代 数 系 统 的 有 ( D ) A < Z , + , / > B < Z , / > C < Z , − , / > D < P ( A ) , ∩ > 代 数 系 统 = 非 空 集 合 + 运 算 + 封 闭 性 1.设Z为整数集，A为集合，A的幂集为P(A),+ - /为数的加减除运算，\cap 为集合的交运算，\\ 下列系统中是代数系统的有(D)\\ A B C D代数系统=非空集合+运算+封闭性 1.设Z为整数集，A为集合，A的幂集为P(A),+−/为数的加减除运算，∩为集合的交运算，下列系统中是代数系统的有(D)ABCD代数系统=非空集合+运算+封闭性

2. 在 自 然 数 集 N 上 ， 下 列 哪 种 运 算 是 可 结 合 的 ? ( B ) 2.在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的? ( B) 2.在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的?(B) (A) ab=a-b(B) ab=max{a,b} © ab=a+2b (D) ab= |a-b|

3. 任 何 一 个 具 有 两 个 或 以 上 元 的 半 群 ， 它 （ B ） 3.任何一个具有两个或以上元的半群，它（B） 3.任何一个具有两个或以上元的半群，它（B） A：不可能是群B不一定是群C一定是群D是交换群 例：二阶循环群有两个元素是群也是半群，但是，全体偶数构成的集合2Z,对普通数的乘法构成半群,但不是幺半群，更不是群。

4. 设 A = { 2 ， 4 ， 6 } ， A 上 的 二 元 运 算 ∗ : a ∗ b = m a x { a , b } , 则 在 < A , ∗ > 中 , 单 位 元 是 ( 2 ) , 零 元 是 （ 6 ） 4.设A=\{ 2，4，6 \}，A上的二元运算*:a*b=max\{ a,b \},则在中,单位元是(2),零元是（6） 4.设A={2，4，6}，A上的二元运算∗:a∗b=max{a,b},则在中,单位元是(2),零元是（6）

5. 设 < G , ∗ > 是 一 个 群 ， 则 a , b , x ∈ G , a ∗ x = b . 则 x = ( a − 1 ∗ b ) ， 若 a ∗ x = a ∗ b , 则 x = ( b ) 5.设是一个群，则a,b,x\in G,a*x=b.则x=(a^{-1}*b)，若a*x=a*b,则x=(b) 5.设是一个群，则a,b,x∈G,a∗x=b.则x=(a−1∗b)，若a∗x=a∗b,则x=(b) 考察群的性质，即群满足消去率

6. 设 a 是 12 阶 群 的 生 成 元 ， 则 a 2 是 （ 6 ） 阶 元 素 ， a 3 是 （ 4 ） 阶 元 素 , a − 1 的 阶 为 （ 12 ） 6.设a是12阶群的生成元，则a^2是（6）阶元素，a^3是（4）阶元素,a^{-1}的阶为（12） 6.设a是12阶群的生成元，则a2是（6）阶元素，a3是（4）阶元素,a−1的阶为（12） x^n=e,n称为群元素的阶,元素的阶等同元素的逆的阶

5. 代 数 系 统 < G , ∗ > 是 一 个 群 ， 则 G 的 等 幕 元 是 ( 单 位 元 ) 。 注 ： 等 幂 元 与 幂 等 元 是 一 个 意 思 5.代数系统是一个群，则G的等幕元是( 单位元)。注：等幂元与幂等元是一个意思 5.代数系统是一个群，则G的等幕元是(单位元)。注：等幂元与幂等元是一个意思

由 a 2 = a , 用 归 纳 法 可 证 a n = a ∗ a ( n − 1 ) = a ∗ a = a 反 之 若 a ′ n = a 对 一 切 N 成 立 ， 则 对 n = 2 也 成 立 ， 所 以 幂 等 元 一 定 是 等 幕 元 ， 并 且 在 群 < G , ∗ > 中 ， 除 幺 元 即 单 位 元 e 外 不 可 能 有 任 何 别 的 幂 等 元 ) 由a^2=a,用归纳法可证a^n=a*a(n-1)=a*a=a\\ 反之若a'n=a对一切N成立，则对n=2也成立，所以幂等元一定是等幕元，\\ 并且在群中，除幺元即单位元e外不可能有任何别的幂等元) 由a2=a,用归纳法可证an=a∗a(n−1)=a∗a=a反之若a′n=a对一切N成立，则对n=2也成立，所以幂等元一定是等幕元，并且在群中，除幺元即单位元e外不可能有任何别的幂等元)

6. 群 < G , ∗ > 的 等 幕 元 是 ( 单 位 元 ) ， 有 ( 1 ) 个 。 6.群的等幕元是(单位元)，有( 1)个。 6.群的等幕元是(单位元)，有(1)个。 答:单位元，1 (在群中 ，除幺元印单位元e外不可能有任何别的幂 等元) 7. 设 < s , ∗ > 是 群 ; 则 那 么 s 中 除 ( 单 位 元 ) 外 ， 不 可 能 有 别 的 幂 等 元 ， 如 果 群 中 有 零 元 ， ∣ S ∣ = ( 1 ) 7.设是群;则那么s中除(单位元)外，不可能有别的幂等元，如果群中有零元，|S|=(1) 7.设是群;则那么s中除(单位元)外，不可能有别的幂等元，如果群中有零元，∣S∣=(1)

8. 素 数 阶 群 一 定 是 ( 循 环 群 ) 群 ， 它 的 生 成 元 是 ( 任 一 非 单 位 元 ) 。 8.素数阶群一定是( 循环群 )群， 它的生成元是(任一非单位元)。 8.素数阶群一定是(循环群)群，它的生成元是(任一非单位元)。 (证明如下:任一元素的阶整除群的阶。现在群的阶是素 数p,所以元素的阶要么是1要么是p.G中只有一个单位元,其它元素的阶都不等于1, 所以都是p。任取一个非单位元，它的阶等于p,所以它生成的G的循环子群的阶也是 p,从而等于整个群G.所以G等于它的任一 非单位元生成的循环群)

一个有限非交换群所包含的元素个数至少是6个 素数阶群 素数阶群是循环群（循环群是abel群）

离散题：给一任意群，求其所有子群的算法。添加链接描述

9.求循环群的生成元和子群

11. 求 循 环 群 C 1 2 = { e , a , a 2 , … … ， a 11 } 中 H = e , a 4 , a 8 的 所 有 右 陪 集 11.求循环群C_12=\{ e,a,a^2,……，a^{11}\}中H={e,a^4,a^8}的所有右陪集 11.求循环群C1​2={e,a,a2,……，a11}中H=e,a4,a8的所有右陪集 因 为 ∣ C 12 ∣ = 12 , ∣ H ∣ = 3 , 所 以 H 的 不 同 的 右 陪 集 有 4 个 ： H , { a ， a 5 , a 9 } , { a 2 ， a 6 , a 1 0 } , { a 3 ， a 7 , a 1 1 } 因为|C_{12}|=12,|H|=3,所以H的不同的右陪集有4个：\\ H,\{ a，a^5,a^9 \},\{ a^2，a^6,a^10 \},\{ a^3，a^7,a^11 \} 因为∣C12​∣=12,∣H∣=3,所以H的不同的右陪集有4个：H,{a，a5,a9},{a2，a6,a10},{a3，a7,a11}

12. I 上 的 二 元 运 算 定 义 为 : ∀ a , b ∈ I a ∗ b = a + b − 2 。 试 问 < I , ∗ > 是 循 环 群 吗 ? 12.I上的二元运算定义为: \forall a,b\in I a*b=a+b-2。试问是循环群吗? 12.I上的二元运算定义为:∀a,b∈Ia∗b=a+b−2。试问是循环群吗? 解: < I , ∗ > 是 循 环 群 。 因 为 < I , ∗ > 是 无 限 阶 的 循 环 群 ， 则 它 只 有 两 个 生 成 元 。 1 和 3 是 它 的 两 个 生 成 元 。 因 为 a n = n a − 2 ( n − 1 ) ， 故 1 n = 2 − n 。 从 而 对 任 一 个 k , k = 2 − ( 2 − k ) = 1 2 − k , 故 1 是 的 生 成 元 。 又 因 为 1 和 3 关 于 ∗ 互 为 逆 元 , 故 3 也 是 < I , ∗ > 的 生 成 元 。 是循环群。因为是无限阶的循环群，则它只有两个生成元。\\ 1和3是它的两个生成元。因为a^n=na-2(n-1)，故1^n=2-n。 \\ 从而对任一个k,k=2-(2- k)=1^{2-k},故1是的生成元。\\ 又因为1和3关于*互为逆元,故3也是的生成元。 是循环群。因为是无限阶的循环群，则它只有两个生成元。1和3是它的两个生成元。因为an=na−2(n−1)，故1n=2−n。从而对任一个k,k=2−(2−k)=12−k,故1是的生成元。又因为1和3关于∗互为逆元,故3也是的生成元。

设 n 是正整数, sn 是 n 的正因子的集合. d 为整除关系,问偏序集是否构成格? 13. S 110 = { 1 , 2 , 5 , 10 , 11 , 22 , 55 , 110 } ， g c d 表 示 求 最 大 公 约 数 的 运 算 ， l c m 表 示 求 最 小 公 倍 数 的 运 算 问 （ S 110 ， g c d , l c m ） 是 否 构 成 布 尔 代 数 ？ 为 什 么 ？ 首 先 ： 布 尔 代 数 对 应 的 格 是 有 补 分 配 格 第 一 S 110 是 格 其 次 验 证 分 配 性 ： g c d ( x , l c m ( y , z ) ) = l c m ( g c d ( x , y ) , g c d ( x , z ) ) 两 个 等 式 互 为 充 要 条 件 ， 只 证 一 个 验 证 有 补 格 ： 最 小 元 1 ， 最 大 元 110 1 − 110 , 2 − 55 , 5 − 22 , 10 − 11 互 为 补 元 13.S_{110}=\{ 1,2,5,10,11,22,55,110 \}，gcd表示求最大公约数的运算，lcm表示求最小公倍数的运算\\ 问（S_{110}，gcd,lcm）是否构成布尔代数？为什么？\\ 首先：布尔代数对应的格是有补分配格\\ 第一S_{110}是格\\ 其次验证分配性：gcd(x,lcm(y,z))=lcm(gcd(x,y),gcd(x,z))两个等式互为充要条件，只证一个\\ 验证有补格：最小元1，最大元110\\ 1-110,2-55,5-22,10-11互为补元 13.S110​={1,2,5,10,11,22,55,110}，gcd表示求最大公约数的运算，lcm表示求最小公倍数的运算问（S110​，gcd,lcm）是否构成布尔代数？为什么？首先：布尔代数对应的格是有补分配格第一S110​是格其次验证分配性：gcd(x,lcm(y,z))=lcm(gcd(x,y),gcd(x,z))两个等式互为充要条件，只证一个验证有补格：最小元1，最大元1101−110,2−55,5−22,10−11互为补元

14. 设 A 为 集 合 , P ( A ) 为 A 的 幂 集 , 则 < P ( A ) , s > 是 格 ， 若 x y ∈ P ( A ) . 则 x , y 最 大 下 界 是 x ∩ y 最 小 上 界 是 x ∪ y 14.设A为集合,P(A)为A的幂集,则是格，若xy∈P(A).则x,y最大下界是x\cap y 最小上界是x\cup y 14.设A为集合,P(A)为A的幂集,则是格，若xy∈P(A).则x,y最大下界是x∩y最小上界是x∪y

第一个和第二个是同一个，不封闭，只是画法的位置稍有不同 第三个是有下2，3有下界，但是没有下确界，即 4， 5，6中4，5 没有最大值

代数系统=非空集合+运算+封闭性 半群=二元运算，封闭，结合律 幺半群(独异点)=半群+幺元 群=半群+有单位元、有逆元

消去率[左消去率（运算左边相同的元素可以消去，右消去率同理）] 半群与群：如果一个有限半群满足左右消去律则它是群。

单位元（ax=x）与零元(ax=a) 其他： 半群是群的推广。群自然是半群；反之显然未必。半群也是环的推广。环在只考虑它的乘法运算的时候是一个半群，称为环的乘半群；但任何一个带零半群却未必是某个环的乘半群。半群代数理论的系统研究始于20世纪50年代(虽然，这方面的工作可追溯到1904年苏士凯维奇(Suschkwitz，A.K.)关于有限半群的论文)。在数学内部和外部的巨大推动下，半群理论已成为代数学的一个公认的分支学科，并早已以其特有的方法独立于群论和环论之外。在20世纪60年代，苏联和美国率先出版了两本专著，利雅平(Ляпин，E.C.)的《半群》和克利福德(Clifford，A.H.)与普雷斯顿(Preston，G.B.)的两卷《半群代数理论》，这对半群代数理论的发展，在国际上起了巨大的推动作用。由德国斯普林格出版社出版的《半群论坛》更是有关半群理论的一个重要的国际性专门刊物.许多数学家在世界各地开展半群理论的研究和各层次高级人才的培养(直到博士后)。半群代数理论是半群理论中最基本、最活跃、也最富成果的一部分。此外，尚有半群的分析、拓扑和序理论

在数学中，群表示一个拥有满足封闭性、满足结合律、有单位元、有逆元的二元运算的代数结构，包括阿贝尔群、同态和共轭类。