鸽了一天，它又来了

这部分的内容也比较简单，有两个法则，按照正常步骤来一般就可以解出来题目

u对x求偏导，从图中我们可以找到两条路径， u → z → x 和 u → N → x u \to z \to x 和 u \to N \to x u→z→x和u→N→x

所以 ： ∂ u ∂ x = ∂ u ∂ z ∂ z ∂ x + ∂ u ∂ N ∂ N ∂ x \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial N} \frac{\partial N}{\partial x} ∂x∂u​=∂z∂u​∂x∂z​+∂N∂u​∂x∂N​

w对t求偏导，从图中我们可以找到三条路径， w → x → t 和 w → y → t , w → z → t w \to x \to t 和 w \to y \to t ,w \to z \to t w→x→t和w→y→t,w→z→t

所以 ： ∂ w ∂ t = ∂ w ∂ x d x d t + ∂ w ∂ y d y d t + ∂ w ∂ z d z d x \frac{\partial w}{\partial t} = \frac{\partial w}{\partial x} \frac{d_x}{d_t} + \frac{\partial w}{\partial y} \frac{d_y}{d_t} + \frac{\partial w}{\partial z} \frac{d_z}{d_x} ∂t∂w​=∂x∂w​dt​dx​​+∂y∂w​dt​dy​​+∂z∂w​dx​dz​​

根据上面两个示例，我们可以发现，从一个量出发有多个路径的是求偏导，从一个量出发只有一条路径的求导

例题

设 u = f ( x 2 − y 2 , e x y ) u = f(x^2 - y^2 , e^{xy}) u=f(x2−y2,exy)，求u的一阶偏导，其中f具有一阶连续偏导。

解：

∂ u ∂ x = f ′ 2 x + f ′ ′ e x y y \frac{\partial u}{\partial x} = f' 2x +f'' e^{xy} y ∂x∂u​=f′2x+f′′exyy

∂ u ∂ y = f ′ ( − 2 y ) + f ′ ′ e x y x \frac{\partial u}{\partial y} = f' (-2y) + f'' e^{xy} x ∂y∂u​=f′(−2y)+f′′exyx

可求u的所有一阶偏导。

定义

解题思路

其中一般有两种常见的隐函数形式：

则： d y d x = − F ′ x F ′ y \frac{d_y}{d_x} = - \frac{F'x}{F'y} dx​dy​​=−F′yF′x​ x 和 y都在对角线的位置

则： d z d x = − F ′ x F ′ z \frac{d_z}{d_x} = - \frac{F'x}{F'z} dx​dz​​=−F′zF′x​ d z d y = − F ′ y F ′ z \frac{d_z}{d_y} = - \frac{F'y}{F'z} dy​dz​​=−F′zF′y​

例题

设 ln ⁡ x 2 + y 2 = arctan ⁡ y x 求 d y d x \ln \sqrt {x^2 + y^2} = \arctan \frac{y}{x} 求 \frac{d_y}{d_x} lnx2+y2 ​=arctanxy​求dx​dy​​

解：

令 F ( x ) = ln ⁡ x 2 + y 2 − arctan ⁡ y x F(x) = \ln \sqrt {x^2 + y^2} - \arctan \frac{y}{x} F(x)=lnx2+y2 ​−arctanxy​

F ( x ) = 1 2 ( ln ⁡ x 2 + y 2 ) − arctan ⁡ y x F(x) = \frac{1}{2}( \ln {x^2 + y^2}) - \arctan \frac{y}{x} F(x)=21​(lnx2+y2)−arctanxy​

则：

F x ′ = 1 2 2 x x 2 + y 2 + y x 2 1 + ( y x ) 2 F'_x = \frac{1}{2} \frac{2x}{x^2 + y^2} + \frac{\frac{y}{x^2}}{1 + ( \frac{y}{x})^2} Fx′​=21​x2+y22x​+1+(xy​)2x2y​​

F x ′ = x x 2 + y 2 + y x 2 + y 2 F'_x = \frac{x}{x^2 + y^2} + \frac{y}{x^2+ y^2} Fx′​=x2+y2x​+x2+y2y​

F x ′ = x + y x 2 + y 2 F'_x = \frac{x+y}{x^2 + y^2} Fx′​=x2+y2x+y​

F y ′ = 1 2 2 y x 2 + y 2 − 1 x 1 + ( y x ) 2 F'_y = \frac{1}{2} \frac{2y}{x^2 + y^2} - \frac{\frac{1}{x}}{1 + ( \frac{y}{x})^2} Fy′​=21​x2+y22y​−1+(xy​)2x1​​

F y ′ = y − x x 2 + y 2 F'_y = \frac{y-x}{x^2 + y^2} Fy′​=x2+y2y−x​

所以：

d y d x = − F ′ ( x ) F ′ ( y ) = − y + x y − x \frac{d_y}{d_x} = - \frac{F'(x)}{F'(y)} = - \frac{y+x}{y-x} dx​dy​​=−F′(y)F′(x)​=−y−xy+x​