例1.表达式 S S S表示一个圆心在原点，半径为5的圆，其隐函数如下： S ( x , y ) = x 2 + y 2 = 25 S(x,y)=x^2+y^2 = 25 S(x,y)=x2+y2=25

对表达式 S S S求导，要考虑 S S S的两个变量 x , y x,y x,y同时发生的变化，既有 x x x的微小变化量 d x dx dx，也有 y y y的微小变化量 d y dy dy。无论这个变化是否在某个圆上，都会在 x y xy xy平面上往某种方向移动了微小的一步。 对 S S S求导，则有 d S = 2 x d x + 2 y d y = 0 dS=2xdx+2ydy=0 dS=2xdx+2ydy=0 几何意义：对 S S S求导，就是在求这次移动所导致的 S S S的变化量 d S dS dS是多少，即 x 2 + y 2 x^2+y^2 x2+y2的值相应变化了多少。对于求导而言，虽然是个近似值，但是这个近似值会随着 d x , d y dx,dy dx,dy越来越小而越来越精确。

重点在于，当把每一次移动都落在圆上的时候，就相当于维持 S S S的值不变，则 S S S的变化量 d S dS dS就应该为0（严格意义上来讲，这样约束会使得每一步落在圆的一条切线上，但迈的步子足够小的话，可以近似等同于落在圆上）。

例2.已知的 f ( x ) = e x f(x)=e^x f(x)=ex的导函数为其本身，即 d ( e x ) d x = e x \frac{d(e^x)}{dx}=e^x dxd(ex)​=ex，求其反函数 f ( x ) = ln ⁡ ( x ) f(x)=\ln(x) f(x)=ln(x)的导函数

将 ln ⁡ ( x ) \ln(x) ln(x)的图像想象成一个隐函数曲线，该曲线表示 x y xy xy平面上满足等式 y = ln ⁡ ( x ) y=\ln(x) y=ln(x)的所有点 ( x , y ) (x,y) (x,y)的集合。

函数图像的切线的斜率 d y d x \frac{dy}{dx} dxdy​就是 ln ⁡ ( x ) \ln(x) ln(x)的导函数。

其中， y = ln ⁡ ( x ) y=\ln(x) y=ln(x) 等价于 e y = x e^y=x ey=x 对等式两边同时求导有 e y d y = d x e^ydy=dx eydy=dx 几何意义：从图像上移动微小的一步 ( d x , d y ) (dx,dy) (dx,dy)，对等式的两边有什么影响。要让这一步依然落在曲线上，等式左边的变化量 e y d y e^ydy eydy 必须等于等式右边的变化量 d x dx dx。 则 ln ⁡ ( x ) \ln(x) ln(x)的导函数为 d y d x = 1 e y = 1 x \frac{dy}{dx}=\frac{1}{e^y}=\frac{1}{x} dxdy​=ey1​=x1​

从本例子可以看出，隐函数求导的一个作用是可以利用从已有的导函数，推导出别的函数的导函数。