隐函数组就是多了一个式子，本来一个变量，现在两个变量。 比如 F ( x , y , u , v ) = 0 ， G ( x , y , u , v ) = 0 F(x,y,u,v)=0，G(x,y,u,v)=0 F(x,y,u,v)=0，G(x,y,u,v)=0确定了隐函数组 u = f ( x , y ) ， v = g ( x , y ) u=f(x,y)，v=g(x,y) u=f(x,y)，v=g(x,y) 这是一个例子而已，变量到底谁是谁的函数还是看题目怎么说的。

雅可比行列式 ∣ F u F v G u G v ∣ \begin{gathered} \begin{vmatrix} F_u& F_v \\ G_u & G_v \end{vmatrix} \quad \end{gathered} ∣∣∣∣​Fu​Gu​​Fv​Gv​​∣∣∣∣​​ 可以记成 ∂ ( F , G ) ∂ ( u , v ) \frac{\partial(F,G)}{\partial(u,v)} ∂(u,v)∂(F,G)​

隐函数组定理：如果满足 F(x,y,u,v)连续，G(x,y,u,v)连续， F ( x 0 , y 0 , u 0 , v 0 ) = 0 ， G ( x 0 , y 0 , u 0 , v 0 ) = 0 F(x_0,y_0,u_0,v_0)=0，G(x_0,y_0,u_0,v_0)=0 F(x0​,y0​,u0​,v0​)=0，G(x0​,y0​,u0​,v0​)=0（初始条件） 一阶偏导数连续 雅可比矩阵在 P 0 P_0 P0​点不为0 那么确定了连续的隐函数 u = f ( x , y ) ， v = g ( x , y ) u=f(x,y)，v=g(x,y) u=f(x,y)，v=g(x,y) 隐函数的偏导数连续且可以用求导的方法算出来。 偏导的公式书上有，但是感觉烦，但是自己直接对两个式子分别对x,y求导得到一个二元一次的方程组，解起来好像也不简单…

所以求隐函数偏导的基本方法： 先验证满不满足初始条件，再求出 F u , F v , G u , G v F_u,F_v,G_u,G_v Fu​,Fv​,Gu​,Gv​看看雅可比矩阵会不会是0.

然后一种方法是对两个变量x,y分别求导得到四个式子，分别可以解出 u x , u y , v x , v y u_x,u_y,v_x,v_y ux​,uy​,vx​,vy​（就是解二元一次方程组，这时候可以用高斯消元法） 但是可能会变量关系太复杂，算起来比较烦 注意的是，给出的方程组一定化为F=0,G=0的形式。 另外求偏导的时候一定要注意谁是谁的函数。

那么第二种方法就是套公式了。感觉有点烦，但可以接受。 也要注意把已知的两个方程写成F=0,G=0的形式 公式： ∂ u ∂ x = − 1 J ∂ ( F , G ) ∂ ( x , v ) \frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{1}{J}\frac{\partial(F,G)}{\partial(x,v)} ∂x∂u​=−J1​∂(x,v)∂(F,G)​ ∂ v ∂ x = − 1 J ∂ ( F , G ) ∂ ( u , x ) \frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{1}{J}\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,x)} ∂x∂v​=−J1​∂(u,x)∂(F,G)​ ∂ u ∂ y = − 1 J ∂ ( F , G ) ∂ ( y , v ) \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{1}{J}\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,v)} ∂y∂u​=−J1​∂(y,v)∂(F,G)​ ∂ v ∂ y = − 1 J ∂ ( F , G ) ∂ ( u , y ) \frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{1}{J}\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,y)} ∂y∂v​=−J1​∂(u,y)∂(F,G)​ J是雅可比矩阵即 ∂ ( F , G ) ∂ ( u , v ) \frac{\partial(F,G)}{\partial(u,v)} ∂(u,v)∂(F,G)​ 记忆的时候，求哪个变量对x的导数，矩阵里就把那个变量用x换掉。 注意u,x的顺序不能改变，变了就会差一个负号。 注意公式是针对两个隐函数和两个已知方程的，题目要哪个就求哪个。

那么关键问题在于，啥时候用哪个？ 当然其实两个方法本质是一样的，但是第一种更灵活。 我看了一下： 如果是F(x,y)直接给了，里面又没有f(x,y)这种抽象函数的时候，直接求导就行，这样会方便一点。 如果是F(x,y)是抽象函数，或者一部分是抽象函数，可能带公式会简单。 但是，如果函数组不止有两个，隐函数也不只有两个，那么最好就是自己求导。

就是本来是u=u(x,y) ,v=v(x,y) 现在变成了x=x(u,v) ,y=y(u,v) 就是现在变成了x,y是u,v的函数了。

反函数组定理： 设隐函数组u=u(x,y) v=v(x,y)和它的一阶偏导数连续，并且有初始条件： u 0 = u ( x 0 , y 0 ) , v 0 = v ( x 0 , y 0 ) u_0=u(x_0,y_0) ,v_0=v(x_0,y_0) u0​=u(x0​,y0​),v0​=v(x0​,y0​) p 0 p_0 p0​点 ∂ ( u , v ) ∂ ( x , y ) ≠ 0 \frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}\not=0 ∂(x,y)∂(u,v)​​=0 则存在反函数:x=x(u,v) ,y=y(u,v）满足 p 0 p_0 p0​点为0，一阶偏导数是 ∂ x ∂ u = ∂ v ∂ y / ∂ ( u , v ) ∂ ( x , y ) \frac{\partial x}{\partial u}=\frac{\partial v}{\partial y}/\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} ∂u∂x​=∂y∂v​/∂(x,y)∂(u,v)​ ∂ x ∂ v = ∂ u ∂ y / ∂ ( u , v ) ∂ ( x , y ) \frac{\partial x}{\partial v}=\frac{\partial u}{\partial y}/\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} ∂v∂x​=∂y∂u​/∂(x,y)∂(u,v)​ ∂ y ∂ u = ∂ v ∂ x / ∂ ( u , v ) ∂ ( x , y ) \frac{\partial y}{\partial u}=\frac{\partial v}{\partial x}/\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} ∂u∂y​=∂x∂v​/∂(x,y)∂(u,v)​ ∂ y ∂ u = ∂ v ∂ x / ∂ ( u , v ) ∂ ( x , y ) \frac{\partial y}{\partial u}=\frac{\partial v}{\partial x}/\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} ∂u∂y​=∂x∂v​/∂(x,y)∂(u,v)​

注意看，要求的是隐函数组的反函数组还是其导数。 反函数组的偏导也可以用第一种方法，自己对两个方程组求偏导再解二元一次方程组做。如果懒得记公式，就自己求导吧。