使用教材：马文淦《计算物理学》，限于篇幅，这本书上部分知识写得并不十分详细，根据我复习时的一点想法，分享给大家参考。

本篇分享的是连续分布的随机变量抽样的几种方法（直接、变换抽样法，三类舍选法，复合抽样法，课本2.3节）。

首先不防问自己一个问题，我们为什么要了解这块知识？

物理模拟中经常要对某个随机变量（比如速度，位置，方向）抽样，它们都满足某个分布（比如一定温度下微观粒子运动速度满足玻尔兹曼分布），问题就是如何产生满足某个分布的随机变量。

一般来说编程时我们能够调用的随机变量的生成函数，无非是几个最典型的，比如均匀分布，正态分布等等，这是远远不够我们使用的，所以要学会自己做符合想要的分布的随机变量抽样，这就是这块知识目的所在。

因此需提前掌握伪随机数及其生成方法。 （说是伪随机数是因为计算机并不能生成真随机数，任何代码生成的随机数都会有周期，只不过周期长短有别。我们使用的伪随机数周期一般较长，可近似认为是随机数。）

假设变量 η \eta η是一个随机数，那么在选定的随机数生成范围内，生成每一个数的几率是相同的，也就是说 η \eta η满足均匀分布。下面几种方法都是建立在掌握均匀抽样的基础上，通过变量代换（变换抽样法）或按某种方式舍弃部分数据（舍选法）来生成自己想要的分布的。

先看课本：

分布密度函数，现在的说法叫概率密度函数，表示的就是抽到这个数的概率，概率密度函数越高的地方抽到的可能性越大。同时密度函数也是分布函数的导数，对应可知分布函数上升较快的区间对应抽样抽到的概率也很大，如下图所示。

有了这两幅 η \eta η的分布图，我们先定性地理解一下直接抽样法： 1、首先在纵轴[0,1]范围内均匀抽样，记作 ξ \xi ξ； 2、分布函数值为 ξ \xi ξ的点的横坐标就是 η \eta η，即为最终抽样的结果。 ξ \xi ξ均匀抽样抽到[0.1,0.9]区间内的概率为0.8，对应的 η \eta η为[-0.1,0.1]区间上，短短区间长度0.2竟有这么大的概率，可见是与概率密度函数符合的。

但这毕竟只是定性分析，究竟符不符合呢？可以证明这种抽样方法 η \eta η确实满足的分布函数是F(x)，具体方法见上面的课本内容。

附课本例题：

直接抽样法其实是一种由均匀抽样变换为所期望的随机抽样的特例，具体为什么，且看下文~

现在我们提出一个问题，看似所有的随机变量都有概率密度函数f(x)，那么对其积分就一定能得到分布函数F(x)，再用直接抽样，非常自然。所以这意味着所有的随机抽样都可以用这种方法吗？

答案是否定的，上面的分析忽略了不是所有的F(x)都能用解析表达式表达出来，它确实存在，也可以画出图像，但就是无法解析表达，这种情况就不能用直接抽样，而要用更一般的变换抽样法。

上课本！

极简版： η = g ( δ ) \eta=g(\delta) η=g(δ)，对 δ \delta δ抽样然后代入即可。

我对变换抽样法的理解（叙述顺序可能与课本不同）： 首先， η \eta η是我想抽样的变量，它的概率分布函数是 f ( x ) f(x) f(x)。假如我事先知道某个随机变量 δ \delta δ的抽样方法，它是均匀分布，还是指数分布、正态分布等等都无所谓，但一定要知道怎么对它抽样，同时我又知道 δ \delta δ和 η \eta η之间的关系： η = g ( δ ) \eta=g(\delta) η=g(δ)和 δ = h ( η ) \delta=h(\eta) δ=h(η)（这里请体会一下，函数关系意味着一个 δ \delta δ的抽样可以唯一确定对应的 η \eta η的抽样。另外，不是所有函数都有反函数的，这也就要求 δ \delta δ和 η \eta η一一映射），那么我就先对 δ \delta δ抽样，再代入 η = g ( δ ) \eta=g(\delta) η=g(δ)就得到了 η \eta η的抽样。

那么这 “ 某个随机变量 δ \delta δ ” 是不是真的随便哪一个变量都行？ 记 δ \delta δ的概率密度函数为 ϕ ( x ) \phi(x) ϕ(x), η \eta η的记为 f ( x ) f(x) f(x),由 η = g ( δ ) \eta=g(\delta) η=g(δ)结合概率论知识可知， f ( x ) = ϕ ( h ( x ) ) ⋅ ∣ h ′ ( x ) ∣ f(x)=\phi(h(x))\cdot|h'(x)| f(x)=ϕ(h(x))⋅∣h′(x)∣，所以要求 h ′ ( x ) h'(x) h′(x)存在，即 h ( x ) h(x) h(x)可导。

所以可知，重点在于： 1、找到已知抽样方法的变量 δ \delta δ和未知抽样方法的变量 η \eta η之间的关系 η = g ( δ ) \eta=g(\delta) η=g(δ)和 δ = h ( η ) \delta=h(\eta) δ=h(η)，两个函数都要存在，他俩一一映射； 2、 h ( x ) h(x) h(x)可导。（这里 h ( x ) h(x) h(x)括号里的变量是x是 η \eta η其实无所谓的，可以体会一下） 而难点在于：找到 η = g ( δ ) \eta=g(\delta) η=g(δ)和 δ = h ( η ) \delta=h(\eta) δ=h(η)。

δ \delta δ为[0,1]上均匀分布时， η = g ( δ ) = F − 1 ( δ ) \eta=g(\delta)=F^{-1}(\delta) η=g(δ)=F−1(δ)，对 δ \delta δ均匀抽样反解出 η \eta η，退化为直接抽样法。

理解后再看课本对二维的叙述就不难了（课本的正态分布是个很好的例子，建议仔细看看）：

舍选法分为第一、二、三类舍选法，我认为是比较难理解的地方，一些想法如下：

舍选就是对均匀抽样的结果以 f ( x ) f(x) f(x)的概率保留。 f ( x ) f(x) f(x)是概率密度。

通常我们对随机抽样的理解是，概率密度大的地方抽的多点，概率密度小的地方抽的少点，这样就能够满足概率密度函数，也就是我们想要的分布了。重点在于它是控制每一处被抽到的概率。

下面换一种方法：假设每一处被抽到的概率是相同的，这样就是均匀分布，概率密度函数是一条直线，这不是我们想要的。在抽样后，我们再根据想得到的概率密度函数，对抽到的数据进行不同程度的舍弃，概率密度函数大的地方少舍弃一点，小的地方多舍一点。根据这个思路，人们发明了第一类舍选法。

具体步骤我就搬运课本了：

稍作解释：(a)步骤就是我说的“假设每一处被抽到的概率是相同的，这样就是均匀分布”，(b)步骤就是我说的“根据想得到的概率密度函数，对抽到的数据进行不同程度的舍弃，概率密度函数大的地方少舍弃一点，小的地方多舍一点”。 λ \lambda λ的作用是控制概率的最大值为1，对应该处数据不会被舍弃。

舍选法由于是通过非常简单的均匀抽样再舍选得到的，计算量小，速度快，避免了由于变换抽样法导致的大计算量的问题。但同时也引入了一个新的问题：由于舍弃部分数据导致抽样效率可能不高。尤其是概率密度函数在某处极端的高的情况，这会导致极大部分数据被舍弃，抽样效率极低，这就有必要引入第二类舍选法了。

还记得变换抽样法吗？当时为了对一个复杂变量抽样，我们先对一个已知的，简单的变量抽样，再做变换。同样的道理，如果某个变量用第一类舍选法效率很低，那我们就先对效率高的变量用舍选法，再做变换。

课本的叙述：

个人理解： 首先，既然想把低效率的抽样转化成高效率的抽样，那就做恒等变换 f ( x ) = f ( x ) h ( x ) ⋅ h ( x ) = = = = = g ( x ) = f ( x ) h ( x ) g ( x ) h ( x ) f(x)=\frac{f(x)}{h(x)}\cdot h(x)\overset{g(x)=\frac{f(x)}{h(x)}}{=====}g(x)h(x) f(x)=h(x)f(x)​⋅h(x)=====g(x)=h(x)f(x)​g(x)h(x)，但这还不行， g ( x ) g(x) g(x)是待会儿做筛选舍取用的，要控制最大值为1。因此，用常数L来调整： f ( x ) = L ⋅ f ( x ) L h ( x ) ⋅ h ( x ) = L g ( x ) h ( x ) f(x)=L\cdot \frac{f(x)}{Lh(x)}\cdot h(x)=Lg(x)h(x) f(x)=L⋅Lh(x)f(x)​⋅h(x)=Lg(x)h(x)。

重点理解上式 f ( x ) = L g ( x ) h ( x ) f(x)=Lg(x)h(x) f(x)=Lg(x)h(x)。概率密度函数就把他理解成概率，L不用管它，就是把最大值归一（概率嘛）的一个系数。如果用第一类舍选法，抽到的数据被保留下来的概率为 λ f ( x ) \lambda f(x) λf(x)(同样的，不用管 λ \lambda λ)，那么 f ( x ) = L g ( x ) h ( x ) f(x)=Lg(x)h(x) f(x)=Lg(x)h(x)就可理解为把概率分解成两个概率相乘。操作上可以理解为先由 h ( x ) h(x) h(x)做一次舍选，得到的结果再根据 g ( x ) g(x) g(x)做一次舍选。

先对满足 h ( x ) h(x) h(x)的变量抽样（变换抽样、舍选均可），因为抽出来的结果肯定满足 h ( x ) h(x) h(x)的概率密度，因此只要再根据 g ( x ) g(x) g(x)做舍选，就能得到最终结果了。最终的抽样结果和直接第一类舍选法结果一样，但抽样效率增加。

附课本例题：

最难理解的一类舍选法，课本上的叙述也及其抽象：

第二类舍选法中，先根据 h ( x ) h(x) h(x)抽样，再根据 g ( x ) g(x) g(x)舍选，而第三类舍选法中，先根据 g ( x ) g(x) g(x)抽样，再根据 h ( x ) h(x) h(x)舍选，是反过来的，这里注意一下。

课本2.3.38式变形为 f ( x ) = L ⋅ ∫ − ∞ h ( x ) g ( x , y ) d y ∫ − ∞ ∞ g ( x , y ) d y ⋅ ∫ − ∞ ∞ g ( x , y ) d y f(x)=L\cdot\frac{\int_{-\infty}^{h(x)}g(x,y)dy}{\int_{-\infty}^{\infty}g(x,y)dy}\cdot \int_{-\infty}^{\infty}g(x,y)dy f(x)=L⋅∫−∞∞​g(x,y)dy∫−∞h(x)​g(x,y)dy​⋅∫−∞∞​g(x,y)dy，类比第二类舍选法中 f ( x ) = L g ( x ) h ( x ) f(x)=Lg(x)h(x) f(x)=Lg(x)h(x)，我特地调整了乘的顺序，这下对比起来有种一目了然的感觉了。

最后我们再分析一下为什么步骤(b)是判别 η y ≤ h ( η x ) \eta_y \leq h(\eta_x) ηy​≤h(ηx​)：把 ∫ − ∞ h ( x ) g ( x , y ) d y ∫ − ∞ ∞ g ( x , y ) d y \frac{\int_{-\infty}^{h(x)}g(x,y)dy}{\int_{-\infty}^{\infty}g(x,y)dy} ∫−∞∞​g(x,y)dy∫−∞h(x)​g(x,y)dy​理解为概率，[- ∞ \infty ∞,h( η x \eta_x ηx​)]内的 η y \eta_y ηy​保留下来，不是这个区间的舍取，可以保证保留下来的概率是 ∫ − ∞ h ( x ) g ( x , y ) d y ∫ − ∞ ∞ g ( x , y ) d y \frac{\int_{-\infty}^{h(x)}g(x,y)dy}{\int_{-\infty}^{\infty}g(x,y)dy} ∫−∞∞​g(x,y)dy∫−∞h(x)​g(x,y)dy​。

当 x x x和 y y y独立时， g ( x , y ) g(x,y) g(x,y)可以拆分为 f 1 ( x ) ⋅ f 2 ( y ) f_1(x)\cdot f_2(y) f1​(x)⋅f2​(y)，假设 f 2 f_2 f2​的积分是 F 2 ( x ) F_2(x) F2​(x)，则 ∫ − ∞ h ( x ) g ( x , y ) d y = f 1 ( x ) ⋅ F 2 ( h ( x ) ) \int_{-\infty}^{h(x)}g(x,y)dy=f_1(x)\cdot F_2(h(x)) ∫−∞h(x)​g(x,y)dy=f1​(x)⋅F2​(h(x))，代入2.2.38式会发现退化成了第二类舍选法，实际上，第二类舍选法确是第三类舍选法的特例。这也是我理解第三类舍选法的切入点。

附课本例题：

这几类抽样方法之间，直接->变换抽样、第一->第二->第三类舍选法都是推广的关系，同时推广的方式又彼此相似，理解清为什么以这样的顺序来介绍对更深入地理解知识很有帮助。另外，连续随机变量的抽样并未讲完，复合抽样法将放在下一篇分享。