抛一枚硬币，不是正面朝上就是反面朝上，正面朝上或者反面朝上都是随机事件。

掷一枚骰子，可能是1点朝上，2点朝上，…，或6点朝上，每种点数朝上，都是随机事件。

与每个随机事件a关联的有一个概率值，它表示该事件发生的可能性：

例如，对于抛硬币，不是正面朝上就是反面朝上，不会出现其他情况（这里假设硬币抛出去后不会立着），因此有：

p ( 正 面 朝 上 ) + p ( 反 面 朝 上 ) = 1 p(正面朝上)+p(反面朝上)=1 p(正面朝上)+p(反面朝上)=1

对于抛硬币，正面朝上和反面朝上的概率各为 1 / 2 1/2 1/2，对于掷骰子，每个点朝上的概率各为 1 / 6 1/6 1/6。

上面的例子中，随机事件所有可能的情况只有有限种，而且可以用整数对这些随机事件进行编号，如 a 1 ， a 2 ， a 3 ， . . . a_{1}，a_{2}，a_{3}，... a1​，a2​，a3​，...

然而，有有限就有无限，对于可能有无限种情况的随机事件，我们该如何计算它发生的概率？

考虑一个简单的问题，有一个长度和高度都为1的正方形，如果我们随机的扔一个点到这个长方形里，这个点落在右上方也就是红色区域里的概率是多少？

你可能已经想到了，直接用红色三角形的面积，比上整个长方形的面积，应该就是这个概率: P = 红 色 三 角 形 的 面 积 长 方 形 的 面 积 P=\frac{红色三角形的面积}{长方形的面积} P=长方形的面积红色三角形的面积​

在讲随机变量之前，我们不妨先回忆一下变量，变量是我们再熟悉不过的概念，它是指一个变化的量，可以取各种不同的值。随机变量可以看做是关联了概率值的变量，即变量取每个值有一定的概率。

变量的取值来自一个集合，可以是有限集，也可以是无限集。

在许多概率模型中试验结果是数值化的，例如，许多仪器的仪表的读数，以及股价等。

也有其他一些例子中的试验结果不是数值化的，但是呢，这些试验结果是与某些数值相联系的。例如：

连续抛掷一枚硬币共5次，在这个试验中，正面出现的次数是一个随机变量

在两次抛掷一个骰子的试验中，下面的例子是随机变量： 两次抛掷骰子得到的点数之和； 两次抛掷骰子，得到的点数为6的次数

在传输信号的实验中，传输信号所需要的时间，接收到的信号中发生错误的次数，传输信号过程中的时间延迟，等，都是随机变量；

随机变量分为离散型随机变量和连续性随机变量。

离散型随机变量： 随机变量的取值是有限的；

连续性随机变量： 是指如果随机变量X的所有可能取值不可以逐个列举出来，而是取数轴上某一区间内的任一点的随机变量。 例如，一批电子元件的寿命、实际中常遇到的测量误差等都是连续型随机变量。

陈希孺老师在他所著的《概率论与数理统计》这本书中说：研究一个随机变量，不只是要看它能取哪些值，更重要的是它取各种值的概率如何！

（1）概率质量函数（离散型随机变量）： 在概率论中，概率质量函数（probability mass function，简写为pmf）是离散随机变量在各特定取值上的概率。

一个概率质量函数的图像。函数的所有值必须非负，且总和为1。

（2）概率密度函数（连续性随机变量）： 连续型随机变量的概率密度函数（Probability density function）（在不至于混淆时可以简称为密度函数）是一个描述这个随机变量的输出值，在某个确定的取值点附近的可能性的函数。概率密度函数一般以大写“PDF”（Probability Density Function）标记。

连续型的随机变量取值在任意一点的概率都是0。因此可以推，连续型随机变量在区间上取值的概率与这个区间是开区间还是闭区间无关。要注意的是，概率 P [ X = a ] = 0 {P}\left[X=a\right]=0 P[X=a]=0，但 { X = a } \{X=a\} {X=a}并不是不可能事件。

（3）小结： 概率质量函数和概率密度函数不同之处在于：概率质量函数是对离散随机变量定义的，本身代表该值的概率；概率密度函数是对连续随机变量定义的，本身不是概率，只有对连续随机变量的概率密度函数在某区间内进行积分后才是概率。

图中，横轴为随机变量的取值，纵轴为概率密度函数的值，而随机变量的取值落在某个区域内的概率为概率密度函数在这个区域上的积分。当概率密度函数存在的时候，累积分布函数是概率密度函数的积分。

下面用思维导图的方式，列出一维离散随机变量和连续随机变量的不同：