简单说一下加、减、乘法的原理：

加法竖式计算的原理是交换律和结合律，因为每一个数（特别是有理数），都可以写成如下形式

\sum_{j=-m}^{n}10^jd_j

其中， d_j\in\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} ，而两个数相加则是进行这样的运算

\sum_{j=-m}^{n}10^jd_j+\sum_{j=-m}^{n}10^jc_j

将求和符号展开，然后交换各项，把10的指数相同的两项放在一起，然后再运用结合律，加上括号，计算结果如果超过9，也就是有了进位，就把进位分离出来，把进位放到和进位的10的指数相同的那两项那里。这就是加法竖式计算的原理。

减法竖式的计算原理与加法实际上是相同的，只不过如果遇到较小数减较大数的情形，就需要“借位”——也就是加法的交换律和结合律的再次运用，然后每个10的指数相同的两项相减，结果相加，得到最终的结果。不过借位也有一个有意思的地方，就是如果需要借位的前一位是零，那就要连续向前“点两个点”，其实质是（以 403-67 举例）

403-67=(400+0+3)-(60+7)

=(400-0)+(0-60)+(3-7)

3-7 是负数，而竖式计算的各位不能是负数，因此需要借位，然而十位是 0 ，借位意味着自己就变成负数了，因此十位只能向百位借位，这样就有

403-67=(300-0)+(100-60)+(3-7)

然后个位就可以向十位借位了，即

403-67=(300-0)+(90-60)+(13-7)

（这也是找0所在位借位，0在之后的计算当作9的原因）

于是这个计算就一目了然了

403-67=300+30+6=336

乘法的原理与加减法不同，它首先基于乘法对加法的分配律（不要称其为“乘法分配律”，称为“分配律”即可），最后得到的结果相加，用的就是加法计算的竖式计算原理。

除法的原理也是分配律，除法对加减法的分配律只能操作被除数，不能操作除数，除法分配律的表达式是

(a+b)\div c=a\div c+b\div c

除法的竖式计算，就是把被除数分成几个除数的倍数分别进行除法运算的过程，而除法过程中的商和除数相乘，被除数与之前乘积相减的过程，实际上就是拆数的过程。

除法要计算的是商，而竖式计算就是通过求出各位的商来求出最终结果的，因此运用除法分配律拆数的时候要遵循这一原则，也就是逐位求商的原则，须知每一位数都是0~9范围内的正整数。

举一个例子， 6231 \div 67

首先，需要把这个数拆成各个位的数相加的形式，然后每一位都分别除以 67 ，即

\displaystyle(6\times1000+2\times100+3\times10+1\times1)\div67\\ =6\div67\times1000+2\div67\times100+3\div67\times10+1\div67\times1

这其实就是除法竖式计算中为什么商和被除数要逐位对齐的原理所在。

我们继续，要注意竖式计算计算的是商的每一位数，而除法的过程通常就是我们所说的“试商”的过程，试商的目的在于求出这一位的商以确保这一位的余数不超过除数。我们继续刚才的计算：

6 \div 67 = 0\frac{6}{67}

这是千位数除以除数，因为太小了，所以商零，并且留下余数6，然而，一个数的前导零（即数字最高位前面的零）通常是不需要写出来的，因此前几位商零的过程在竖式计算中是不写出来的。一般的做法是，带着这个较小的数字和后面的一位组合，一起除以除数（这实际上是余数与被除数后面几位结合的过程，后面会讲到）。我们知道 6