广东省教育研究院（510035）吴有昌

深圳市福强小学（518048） 刘全祥

    数学是人类智慧的结晶。数千年来，数学就一直以它简洁的数学符号、神奇的数学公式、严谨的数学证明、精确的数学运算，构筑自身大厦的壮观和美丽。然而，值得一提的是，数学中还有很多不起眼的“规定”，比如，混合运算中先“乘除”后“加减”的运算顺序；字母和数字相乘时数字在前，并且省略乘号，等等。看似“约定俗成”的“规定”，背后有没有合理的成分？如果有，教师应该如何去教？下面，我们以“一位数除两位数竖式计算”为例，谈“规定”的教学。

    一．一位数除两位数的竖式计算，想说“会”你不容易！     除法竖式的学习是学生运算学习的一个难点。不管教师如何精心准备，每年都有部分学生，一、两个星期后仍然没有掌握除法竖式的格式结构。一年是偶然，但年年这样，偶然中就隐藏着必然。     梳理学生的错误，主要有两种（图1和图2）：

    学生为什么这么坚持？这还得问问学生自己真实的想法。访谈的结果大大出于我们的意料。     二．对“错误”的坚持反映了学生对除法竖式合理性的需求。     存在即合理！事实上，交流时学生是能讲出道理来的。减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算。学习了加法算式后，减法是加法的逆运算，列竖式计算的时候，只不过是把“+”改成“-”。把“和”与“被减数”互换。如48+2=50，列的竖式如图3，进行逆运算互换后的减法竖式，即变成图4了。

    由此，“聪慧”的学生会以此类推，得到启示：除法是乘法的逆运算，既然乘法竖式如图5，那么除法竖式是不是就应该如图6呢？

    显然，学生结论的得出是基于一种合情推理！并且，在除数是一位数时，学生甚至能演绎这种合情推理并享受它带来的便捷。如四位数3975÷5。学生首先想到用39除以5，商7余4，余4怎么办？根据加法、乘法进位得到的启示，他会想到把余数4和进位的数一样，写在相应的位置（为了和原来的数字区别，学生会自觉写小一点，这一点和加法、乘法进位的写法高度一致），然后把余下来的4和下一位的7合起来，组成47再除以5，这样商9余2……依次下去，也可以得到正确的商795（图7）。

    数学课不等于数学，数学课本也不等于数学！当学生的认知体系中只有“一位数除两位数、三位数”时，学生无疑是对的！但是，这并不意味着教师不应该作出改变！因为，优质的教育从来不肯迎合儿童当下的兴趣；而是要从适宜的高度引导学生。因此，在肯定学生想法的前提下，作为“传道、授业、解惑者”的教师，还要“告知”学生这样写除法竖式的不足。比如，当除数是两位数、三位数、四位数时，余数超过一位，按照上述的方法写余数就会很麻烦。

    另外，更为重要的是，教师应从学生对自己想法的坚持中得到启示。简单地说，教师应注意到，学生对自己想法的矜持事实上反映了学生这样一种心理需求。那么，要想让学生从心底自觉悦纳教师推荐的新的思想方法，教师首先要让学生感受到这种思想方法是合理的，是有序的，是基于他们的经验生成的，而不是生硬的、无理的、不可想象的......     三．如何让学生体验到除法竖式书写格式的合理性呢？     直面学生的困难，发现学生难以顺利掌握除法竖式的原因主要有两点.其一，一位数除两位数的除法竖式的书写格式属程序性知识，很多学生只是简单地把它当作一种事实来识记：先用一位数去除十位上的数，将剩余的余数和被除数的个位数字合起来，再除以一位数，得到的结果写在商的个位上。然而，由于上述文字过于繁琐，而且涉及的运算比较复杂——乘、减、试商都反复运用。因此尽管学生十分努力，但效果仍然不甚理想。其二，即使有部分老师尝试让学生用小棒摆一摆，分一分，然后结合分的过程写竖式，然而由于除法竖式早已经过了无数数学工作者的反复锤炼，已经高度简洁、完善，即使教师条分缕析，学生也难以在“平均分”与“除法竖式每一步”间建立联系，操作过程中的感性认识就没有有效成为“有意义”接受除法竖式的必要基础。而这自然地引发了两点思考：如何在平均分与除法竖式每一步间有效地建立联系？如何让学生自然而不生硬地内化除法竖式的书写格式的内在基础？下面是我们的教学实践。

    【教学回放】     （CAI课件呈现问题，师生抽象出“48÷2”的算式后）     师：48÷2等于多少？有没有同学知道？     生：48÷2等于24.48可以分成4个十和8个一，4个十除以2等于2个十，8个一除以2等于4个一，合起来就是24.     师：假设隔壁班的一个小朋友，他还没学到这个，他的基础有点差，看到你们这样分桃子，他会有一个什么想法？     学生说：他会想，我们分的对不对？     师：那么，怎样向这名基础有点弱，没学到这个知识，中途进来的隔壁班的学生解释你们分得到底对不对呢？     生：我会演示给他看。（学生边演示边讲）大家注意到没有，猴子分桃子是分两步进行的。第一步分篮子里的桃子，一共4篮，平均分给2个猴子，每个猴子2篮；接着再分零散的桃子，一共8个，平均分给2个猴子，平均每个猴子分4个；这样每个猴子都一共分到2篮加4个，一共分到24个桃子。     师：怎样用竖式把分桃子的两步表示出来呢？     （生自主常识，教师巡视，寻找典型算法，2分钟后组织学生交流）     师：刚才我在转的过程中，看到几个同学是这样表示的（呈现图8）。同学们觉得有没有道理？

    师：你为什么把“两个4”和“两个8”都画上一个圈？     生：一个圈表示分了一次，两个圈表示分了两次。     师：同学们觉得这个同学的想法怎样？     生：我觉得很好。我提一个改进的意见，可以把它写得更简洁。两次都是平均分给两个猴子，两次除数都是2，下面的那个2和上面的那个2相同，可以只写一个。     师：你到展示平台上圈一圈。

         生：同学们，你们看，这个2和这个2相同（学生边说边圈，如图10），都表示除数，可以省略一个2.把下面的这个2擦去，可以得到这样的除法竖式（如图4）。     师：同学们看看书，看看书上列的除法竖式和我们有什么不同。     生：原来我们只知道这样列除法竖式，但是不知道这样列的缘由。通过今天的学习，我知道除法竖式其实是几个一步除法竖式简写来的。     ……  ……

    教育，从外打破是压力，从内打破是成长。这一句话在上述案例中得到了充分地体现。具体地说，针对学生“答案口算，竖式依样画葫芦，忽略操作”这一实际，教师没有生拉硬扯，机械灌输。而是力求让学生自发地生成操作的心理需求。利用学生喜欢帮助弱者这一心理特点，教师创造性地营造了一个“隔壁班”的教学情境：“假设隔壁班的一个小朋友，他还没学到这个，他的基础有点差，他中途来到咱们班，看到你们在分桃子，他会有一个什么想法？”学生马上想到，他会怀疑咱们分得对不对？“那么怎样向这名基础有点弱，没学过除法竖式，又是中途进来的隔壁班的学生证明你们分得到底对不对呢？”显然，最直接的方法是操作。这样，操作就不再是教师的外在规定，而是学生的内在需求，是学生帮助他人、“知道了，怎样深入浅出地证明”的需要。

    更为最重要的是，从案例中可以明显看出，学生操作过程中的感性认识真正有效地成为了学生有意义地接受除法竖式的必要基础。具体地说，当学生演示猴子分桃子的步骤的时候，教师相机引导：“怎样用竖式把分桃子的两步表示出来呢？”于是，有学生列出两个竖式。“分很多次岂不是要写很多竖式，这是不是很麻烦？”教师以石击水。学生马上想到将两个竖式合并成1个竖式，这样，得到了竖式2（如图2），“同学们觉得这个同学的想法怎样？”在讨论和交流中，学生蓦然发现算式中的“2”都表示除数，这样可以只写一个，把下面的这个2擦去，就得到了我们最标准的除法竖式的原型。     教育是慢的艺术！学生的学习应像呼吸一样自然！显然，经过了上面的过程，除法竖式在学生的眼中就不再是机械的、生硬的，而是自然的、灵动的、活泼的，蕴育了智慧成长的。

    注：本文发表于全国中文核心期刊《小学数学教师》2015年第1期，人大复印资料《小学数学教与学》于2015年第6期全文转载。