因为

∠4=∠1（同弧上的同侧圆周角相等）

∠1=∠2（都是∠ABE的余角）

∠2=∠3（对顶角相等）

所以

∠4=∠3

所以，DG=EG。同理，CG=EG。所以DG=CG，即G为DC的中点。证毕。

二、八点圆

您一定熟悉九点圆，我在以前讲过，您可以在我的公众号下边菜单中找到。今天讲八点圆，即有八个点，它们共圆。

如下图所示，ABCD为圆O（图中绿色）的内接四边形，它的两条对角线AC与BD直交，交点为P。过点P分别作直线与四条边垂直，这四条直线将与四条边交出八个点：四条边上的四个垂足E、F、G、H；四条边的四个中点E'、F'、G'、H'（由于婆罗摩笈多定理），那么，这八个点共圆（图中红色圆O'）。

（1）先看F、H、F'、H'这四点，显然，由垂直关系，角F'FH'和角F'HH'都是直角，所以，F、H、F'、H'四点共圆，且F'H'是直径。同理，E、G、E'、G'四点共圆，且E'G'为直径。下面我们只需证明这两个圆是一个圆即可。

（2）依次连接四边中点，所得当然是一个平行四边形，即图中的E'F'G'H'（蓝色）。但又因为每对相对之边又都分别与互相垂直的对角线平行，所以，平行四边形E'F'G'H'是矩形（蓝色）。矩形对角线相等且互相平分，所以F'H'=E'G'。它们于点O'处互相平分。

（3）因为上面已证F'H'与E'G'为直径，因为它们相等且互相平分，所以这两条直径是同一个圆的两条不同直径。所以，八个点E、F、G、H、E'、F'、G'、H'共圆。证毕。

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