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阿氏圆（圆的第二定义） - 知乎 (zhihu.com)

https://zhuanlan.zhihu.com/p/589510820?

2022.12.6

本文旨在解决初、高中数学中的阿氏圆相关问题。

初中学生遇到的阿氏圆模型，可能是一类形如PA＋kPB的最值问题，这里P是圆上动点，A,B是定点。

高中学生遇到的阿氏圆模型，可能是一类形如 ，其中  ，之后去求P的轨迹方程的问题，或者已知方程，求它分线段成的比例等等，总之是利用解析几何的方法去解决对应问题。

在这里笔者希望本文对这两类问题都给出解决方法，并讲清楚中考和高考问题中阿氏圆的“原理”。

阿氏圆是阿波罗尼斯圆的简称，已知平面上两点A、B，则所有满足 ，且的点P的轨迹是一个以定比λ内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆。（这个定义通常被认作是圆的第二定义）这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius，也译作阿波罗尼奥斯和阿波罗尼)发现，故称作阿氏圆。

遇到阿氏圆问题时，我们假定你已经知道了定点A,B，现在需要去找P所在的圆。怎么做呢？首先，根据对称性，这个圆必然关于直线AB对称，如果它不能满足这条对称性，那么就会出现这样一种情况：平面内有两点关于直线AB对称，拥有相同的条件，一个点在阿氏圆上，另一个却不在，这显然是不合理的。

根据对称性我们知道圆被直线AB所截的弦是它的直径，假设直径端点是D₁,D₂，此时一定有  ，我们知道这两个点分别在线段A,B内外，是定比分点，一个是内分点，另一个是外分点，这样我们可以计算得到D₁,D₂的位置，取中点即为阿氏圆圆心，取D₁D₂长度的一半就是半径。

求轨迹曲线

我们现在的疑点是，「简单分析」中给出的阿氏圆定理是如何得到的？

如图，

我们已经知道在直线AB上有内分点D₁和外分点D₂，

还有平面内一动点P（图中P不与A,B共线），满足 ，

记P到AB的距离为h，D₁到PA和PB的距离分别是h₁和h₂

则有 

且 ，对照知h₁=h₂

这意味着PD₁平分∠APB（注：以上过程相当于证明了角平分线定理的逆定理）

同理可知，PD₂平分∠APB的外角，那么有

这时候得出结论：当P在直线AB外时，P的轨迹在以D₁D₂为直径的圆上

当P在直线AB上时，P即为点D₁,D₂

综上，满足 ，且 的点的轨迹是一个以D₁D₂为直径的圆

一些结论

若 ，当 时P在AB的中垂线上

当 时，P在一个圆上，现在记圆的圆心为Q，半径为r，AB=d，有以下结论：

结论一：Q一定在直线AB上，且在线段AB外（或者说AB的正反方向延长线）

结论二：若 ，则Q离A远，离B近（在AB的延长线上）

若，则Q离A近，离B远（在BA的延长线上）

结论三：  , , ,

我们试着根据已有的条件来推导。

根据等比性质  

（当这些分式都有意义时）

上面的等式可以推出

我们只需要注意三个点，A,B和Q，把上式含D的式子全替换

即 ①

①式与 联立，可解得AQ,BQ,r用d和λ表示的结果：

事实上这里的结论并不完全正确，因为我们是在λ>1的情况下作的图并得到结论，如果0