众所周知，阶乘这个运算本来是用于简化形如 n(n-1)(n-2)\dots3\times2\times1 的乘积的，但是经过几百年的发展，这个运算拓展到了复数域的，并拥有了新的名字——Gamma函数。

Gamma函数有很多定义，其中我们今天就来尝试从它的积分定义中推出其它定义：

\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\mathrm{d}t \\

其中 z\in\{z\in\mathbb{C}|\Re(z)>0\}

倘若我们对这个函数分部积分，我们可以得到Gamma函数之间的关系：

\begin{aligned} \Gamma(z)&=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\mathrm{d}t \\ &=\left.t^{z-1}(-e^{-t})\right|^\infty_0+(z-1)\int_0^\infty t^{z-2}e^{-t}\mathrm{d}t \\ &=(z-1)\int_0^\infty t^{(z-1)-1}e^{-t}\mathrm{d}t \\ &=(z-1)\Gamma(z-1) \end{aligned} \\

如果我们令z=1，则

\Gamma(1)=\int_0^\infty e^{-t}\mathrm{d}t=\left.-e^{-t}\right|^\infty_0=1 \\

结合第一个结论，对于 z\in\mathbb{Z}_+ ，存在：

\Gamma(z)=(z-1)(z-2)\dots2\times1 \\

于是我们得到Gamma函数与阶乘的联系 \Gamma(z)=(z-1)!

我们知道 e^x=\lim_{n\to\infty}\left(1+{x\over n}\right)^n ，所以我们可以研究一下积分 \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\mathrm{d}t 里的被积函数 f(t)=t^{z-1}e^{-t} 。倘若我们定义设函数序列 f_n(t):[0,+\infty)\mapsto\mathbb{C} 并且

f_n(t)= \begin{cases} t^{z-1}\left(1-{t\over n}\right)^n & t\in[0,n] \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}

很明显我们可以发现 \lim_{n\to\infty}f_n(t)=f(t)，我们又知道该函数序列的实部和虚部分别满足 |\Re[f_n(t)]|\le t^{\Re(z)-1}e^{-t} 以及 |\Im[f_n(t)]|\le t^{\Re(z)-1}e^{-t} 。所以根据控制收敛定理（Dominated convergence theorem），我们得到：

\lim_{n\to\infty}\int_0^\infty f_n(t)\mathrm{d}t=\int_0^\infty f(t)\mathrm{d}t \\

又因为 f_n(t)\equiv0\space\forall\space t\notin[0,n] ，所以 \int_0^\infty f_n(t)\mathrm{d}t=\int_0^n f_n(t)\mathrm{d}t ，于是：

\lim_{n\to\infty}\int_0^n f_n(t)\mathrm{d}t=\int_0^\infty f(t)\mathrm{d}t \\

我们定义 \Gamma_n(z)=\int_0^n t^{z-1}\left(1-{t\over n}\right)^n\mathrm{d}t 。根据上面的结论，我们进一步得出：

\lim_{n\to\infty}\Gamma_n(z)=\lim_{n\to\infty}\int_0^n t^{z-1}\left(1-{t\over n}\right)^n\mathrm{d}t=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\mathrm{d}t=\Gamma(z) \\

现在我们就可以转而研究 \Gamma_n(z) 的性质了。如果我们对积分 \int_0^n t^{z-1}\left(1-{t\over n}\right)^n\mathrm{d}t 进行如下换元： t=xn,\space\mathrm{d}t=n\mathrm{d}x ，就会导出：

\int_0^n t^{z-1}\left(1-{t\over n}\right)^n\mathrm{d}t=\int_0^1 n^{z-1}x^{z-1}(1-x)^nn\mathrm{d}x=n^z\underbrace{\int_0^1 x^{z-1}(1-x)^n\mathrm{d}x}_{I_{n,z}}

现在我们再通过分部积分研究一下 I_{n,z} 的性质：

\begin{aligned} I_{n,z} &=\int_0^1(1-x)^n\mathrm{d}\left(x^z\over z\right) \\ &=\left.x^z(1-x)^n\over z\right|^1_0-\int_0^1(-n)(1-x)^{n-1}{x^z\over z}\mathrm{d}x \\ &=0+{n\over z}\int_0^1x^{(z+1)-1}(1-x)^{n-1}\mathrm{d}x \\ &={n\over z}I_{{n-1},{z+1}} \end{aligned}

得到递推式后，我们可以通过去求 I_{0,z+n} 来得到 I_{n,z} 的通式：

I_{0,z+n}=\int_0^1 x^{z+n-1}\mathrm{d}x=\left.x^{z+n}\over z+n\right|^1_0={1\over z+n} \\

所以：

I_{n,z}={n(n-1)(n-2)\dots3\times2\over z(z+1)(z+2)\dots(z+n-1)(z+n)}={n!\over z(z+1)(z+2)\dots(z+n-1)(z+n)}

所以 \Gamma_n(z)={n^zn!\over z(z+1)(z+2)\dots(z+n-1)(z+n)} ，根据之前得到的 \Gamma(z)=\lim_{n\to\infty}\Gamma_n(z) ，我们得到了Gamma函数的另一个定义：

\Gamma(z)=\lim_{n\to\infty}{n^zn!\over z(z+1)(z+2)\dots(z+n-1)(z+n)}

我们发现 n^z=\left({2\over 1}\cdot{3\over 2}\cdots{n\over n-1}\right)^z ，又因为 \lim_{n\to\infty}{n+1\over n}=1 ，极限可以改写成

\begin{aligned} \Gamma(z) &=\lim_{n\to\infty}n!{\left(2\over1\right)^z\times\left(3\over2\right)^z\times\dots\times\left(n\over n-1\right)^z\over z(z+1)(z+2)\dots(z+n-1)(z+n)}\cdot\left(n+1\over n\right)^z \\ &=\lim_{n\to\infty}{1\over z}\prod_{k=1}^n\left(k\over z+k\right)\left(k+1\over k\right)^z=\lim_{n\to\infty}{1\over z}\prod_{k=1}^n\left(1+{1\over k}\right)^z\left(1+{z\over k}\right)^{-1} \end{aligned}

最后我们得到了Gamma的欧拉乘积形式：

\Gamma(z)={1\over z}\prod_{k=1}^\infty{\left(1+{1\over k}\right)^z\over 1+{z\over k}} \\

现在我们再回来观察一下极限，可以根据Gamma函数恒不为0的性质反转等式两侧的分子分母，即：

{1\over\Gamma(z)}=\lim_{n\to\infty}{z(z+1)(z+2)\dots(z+n-1)(z+n)\over n^zn!}

现在右侧可以通过乘积符号 \prod 我们可以简化成

{1\over\Gamma(z)}=\lim_{n\to\infty}zn^{-z}\prod_{k=1}^n{z+k\over k}=\lim_{n\to\infty}ze^{-z\ln(n)}\prod_{k=1}^n\left(1+{z\over k}\right)

定义 H_n=\sum_{k=1}^n{1\over k} 。于是

\begin{aligned} {1\over\Gamma(z)} &=\lim_{n\to\infty}ze^{-z\ln(n)}\prod_{k=1}^n\left(1+{z\over k}\right) \\ &=\lim_{n\to\infty}z\exp\left[-z(\ln(n)-H_n+H_n)\right]\prod_{k=1}^n\left(1+{z\over k}\right) \\ &=\lim_{n\to\infty}z\exp\left[-z(\ln(n)-H_n)\right]\exp[-zH_n]\prod_{k=1}^n\left(1+{z\over k}\right) \\ \end{aligned}

我们根据指数函数性质 e^ae^b=e^{a+b} 可以得出 \exp[-zH_n]=\prod_{k=1}^ne^{-{z\over k}} ，所以

\begin{aligned} {1\over\Gamma(z)}&=\lim_{n\to\infty}z\exp\left[-z(\ln(n)-H_n)\right]\exp[-zH_n]\prod_{k=1}^n\left(1+{z\over k}\right) \\ &=\lim_{n\to\infty}z\exp[z(H_n-\ln(n))]\prod_{k=1}^n\left(1+{z\over k}\right)e^{-{z\over k}} \end{aligned}

因为等式左侧必然收敛我们可以确定乘积 \lim_{n\to\infty}\prod_{k=1}^n\left(1+{z\over k}\right)e^{-{z\over k}} 收敛。又因为指数函数连续，我们可以进一步简化公式：

\begin{aligned} {1\over\Gamma(z)} &=\lim_{n\to\infty}z\exp[z(H_n-\ln(n))]\prod_{k=1}^n\left(1+{z\over k}\right)e^{-{z\over k}} \\ &=z\exp[z\lim_{n\to\infty}(H_n-\ln(n))]\prod_{k=1}^\infty\left(1+{z\over k}\right)e^{-{z\over k}} \\ \end{aligned}

现在我们可以引入欧拉常数\gamma=\lim_{n\to\infty}[H_n-\ln(n)] ，即欧拉—马斯克若尼常数（Euler—Mascheroni constant）：

{1\over\Gamma(z)}=z\exp[z\lim_{n\to\infty}(H_n-\ln(n))]\prod_{k=1}^\infty\left(1+{z\over k}\right)e^{-{z\over k}}=ze^{\gamma z}\prod_{k=1}^\infty\left(1+{z\over k}\right)e^{-{z\over k}}

经过整理，我们得到了Gamma函数的Weierstrass定义：

{1\over\Gamma(z)}=ze^{\gamma z}\prod_{k=1}^\infty\left(1+{z\over k}\right)e^{-{z\over k}} \\

经过了大量的推导，我们先后推出了Gamma函数的四种定义：

通过Gamma函数的其它定义，我们可以发现更多的性质，比如：Gamma函数在z为非正整数时不连续，以及关于Gamma函数导数的一些性质。敬请期待下一期——《Gamma函数的那些事儿（2）——欧拉常数与Digamma函数》