前两篇文章，分别对基本的排队论概念如 Kendall 记号和三个常见的分布如普阿松分布、负指数分布等作了介绍。有了这些基础后，我们便可以排队系统进行分析，我们首先讨论标准的 M / M / 1 M/M/1 M/M/1 模型即（ M / M / 1 / ∞ / ∞ M/M/1/\infty/\infty M/M/1/∞/∞ ）。

标准的 M / M / 1 M/M/1 M/M/1 模型是指下列条件下的排队系统：

此外，假定到达间隔时间和服务时间是相互独立的。

在分析标准的 M / M / 1 M/M/1 M/M/1 模型时，首先要求出系统在任意时刻 t t t 的状态为 n n n 的概率 P n ( t ) P_n(t) Pn​(t) 其表示长为 t t t 的时间内，系统内有 n n n 个顾客的概率，它决定了系统运行的特征。

已知顾客到达时间服从参数为 λ \lambda λ 的普阿松过程，服务时间服从参数为 λ \lambda λ 的负指数分布，所以在区间 [ t , t + Δ t ] [t,t+\Delta t] [t,t+Δt] 内有以下三种情况：

在时刻 [ t , t + Δ t ] [t,t+\Delta t] [t,t+Δt] ，系统中有 n n n 个顾客（ n > 0 n>0 n>0），存在如下表所示的四种可能情况（到达或离去两个以上的不计，√ 表示发生一个，× 表示没发生）。

以上四种情况是互不相容的，所以 P n ( t + Δ t ) P_n(t+\Delta t) Pn​(t+Δt) 是各情况概率之和，只研究稳态的情形，可以得到： { λ P 0 = μ P 1 λ P n − 1 + μ P n + 1 = ( λ + μ ) P n , n ≥ 1 (1) \begin{cases} \lambda P_0=\mu P_1 \\ \lambda P_{n-1}+\mu P_{n+1}=(\lambda+\mu)P_n,n\geq1 \end{cases}\tag{1} {λP0​=μP1​λPn−1​+μPn+1​=(λ+μ)Pn​,n≥1​(1) 其中 λ , μ \lambda,\mu λ,μ 分别为到达率和服务率（单位时间内到达或服务的顾客数）。式 (1) 是关于 P n P_n Pn​ 的差分方程。它表明了各状态之间的转移关系，可以用下图（来源：知乎-运筹 OR 帷幄）表示。

在标准的 M / M / 1 M/M/1 M/M/1 模型中，到达率和服务率是不随时间变化的，故上图中的 λ 1 , μ 1 , ⋯ \lambda_1,\mu_1,\cdots λ1​,μ1​,⋯ 均为对应的常数 λ , μ \lambda,\mu λ,μ 。

由式 (1) 的第一个式子，可知 P 1 = ( λ / μ ) P 0 P_1=(\lambda/\mu)P_0 P1​=(λ/μ)P0​ ，将其代入第二个式子，可以得到： μ P 2 = ( λ + μ ) ( λ / μ ) P 0 − λ P 0 ⟹ P 2 = ( λ / μ ) 2 P 0 \mu P_2=(\lambda+\mu)(\lambda/\mu)P_0-\lambda P_0\Longrightarrow P_2=(\lambda/\mu)^2P_0 μP2​=(λ+μ)(λ/μ)P0​−λP0​⟹P2​=(λ/μ)2P0​ 同理，可推得 P n = ( λ / μ ) n P 0 P_n=(\lambda/\mu)^nP_0 Pn​=(λ/μ)nP0​ 。设 ρ = λ / μ < 1 \rho=\lambda/\mu