“0”“1”逻辑妙解一道排列组合题 |
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真寻同学喜欢吃4种坚果:核桃、腰果、杏仁、榛子,他有5种颜色的坚果袋,每种袋子中至少装一种坚果,至多装4种坚果。真寻同学希望五个袋子中所装坚果种类各不相同,且每种坚果在袋子里出现的总次数均为偶数,那么不同的方法数为 种 这道题同学可以去讨论试试看,实在是暴殄天物 我们设每种坚果的状态向量为 e_i=(a,b,c,d) i=1,2,3,4 a,b,c,d\in\left\{ 0,1 \right\} 坚果四个参数分别对应四种袋子,1代表某袋子里有这种坚果,0代表某袋子里没有这种坚果 a,b,c,d分别是i号坚果在1,2,3,4号袋子里的状态参数(有或没有,即1或0) 我们定义状态参数相加时1+1=0,1+0=0+1=1,0+0=0 每种袋子中至少装一种坚果 \Leftrightarrow e_i≠(0,0,0,0) ① 五个袋子中所装坚果种类各不相同 \Leftrightarrow e_i+e_j≠(0,0,0,0) ② 每种坚果在袋子里出现的总次数均为偶数 \Leftrightarrow\sum_{i=1}^{5}{e_i}=(0,0,0,0) ③ (0,0,0,0) 只有和 (0,0,0,0) 相加才能得到 (0,0,0,0) 由②③可知 e_i+e_j+e_k≠(0,0,0,0) ④,由①③可知 e_i+e_j+e_k+e_m≠(0,0,0,0) ⑤ 考虑 e_1 ,由①,16种情况中不能是 (0,0,0,0) 考虑 e_2 ,由①,②,16种情况中不能是 (0,0,0,0) 和e_1 考虑 e_3 ,由①,②,④,16种情况中不能是 (0,0,0,0) 或 e_1 或 e_2 或 e_1+e_2 考虑 e_4 ,由①,②,④,⑤,16种情况不能是(0,0,0,0) 或 e_1 或 e_2 或 e_3 或 e_1+e_2 或 e_2+e_3 或 e_1+e_3或 e_1+e_2+e_3 前四个确定了 e_5 已经确定好了,就1种情况 (其实就是子集数目,只是列举出来方便理解) 可知共有 (16-1)(16-2)(16-4)(16-8)=20160 种 |
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