【参考资料】 【1】《实变函数与泛函分析基础》 【2】《陶泽轩实分析》 【3】《实变函数与泛函分析》

定义: 设E为 R n R^n Rn中任一点集，对于每一列覆盖E的开区间 ⋃ i = 1 ∞ I i ⊂ E \bigcup\limits_{i=1}^{\infty}I_i \subset E i=1⋃∞​Ii​⊂E,作出它的体积总和 u = ∑ i = 1 ∞ ∣ I i ∣ u=\sum\limits_{i=1}^{\infty}|I_i| u=i=1∑∞​∣Ii​∣，所有一切u组成一个下方有界的数集，它的下确界称为E的勒贝格外侧度，简称L外侧度，记作 m ∗ E m^*E m∗E,即:

m ∗ E = inf ⁡ E ⊂ ⋃ i = 1 ∞ I i ∑ i = 1 ∞ ∣ I i ∣ m^*E = \inf\limits_{E \subset \bigcup\limits_{i=1}^{\infty}I_i }\sum\limits_{i=1}^{\infty}|I_i| m∗E=E⊂i=1⋃∞​Ii​inf​i=1∑∞​∣Ii​∣

外侧度具备三条基本性质:

(1) m ∗ E ≥ 0 m^*E \ge 0 m∗E≥0，当E是空集时， m ∗ E = 0 m^*E=0 m∗E=0 (2) 设 A ⊂ B A \subset B A⊂B，则 m ∗ A ≤ m ∗ B m^*A \le m^*B m∗A≤m∗B (单调性) (3) m ∗ ( ⋃ i = 1 ∞ A i ) ≤ ∑ i = 1 ∞ m ∗ A i m^*(\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}A_i) \le \sum\limits_{i=1}^{\infty}m^*A_i m∗(i=1⋃∞​Ai​)≤i=1∑∞​m∗Ai​(次可数可加性)

给出(3)的证明如下:

= ∑ n = 1 ∞ m ∗ A n + ∑ n = 1 ∞ ϵ 2 n =\sum\limits_{n=1}^{\infty}m^*A_n + \sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{\epsilon}{2^n} =n=1∑∞​m∗An​+n=1∑∞​2nϵ​ 由于 ∑ n = 1 ∞ 1 2 n \sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{2^n} n=1∑∞​2n1​收敛于1 = ∑ n = 1 ∞ m ∗ A n + ϵ =\sum\limits_{n=1}^{\infty}m^*A_n + \epsilon =n=1∑∞​m∗An​+ϵ

由于外侧度不具备可数可加性，因此我们要给出一种集合，使得在这种集合里存在 m ∗ ( ⋃ i = 1 ∞ A i ) = ∑ i = 1 ∞ m ∗ A i m^*(\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}A_i) = \sum\limits_{i=1}^{\infty}m^*A_i m∗(i=1⋃∞​Ai​)=i=1∑∞​m∗Ai​

定义: 设 E ⊂ R n E \subset R^n E⊂Rn，若对任意 T ⊂ R n T \subset R^n T⊂Rn，有 m ∗ ( T ) = m ∗ ( T ∩ E ) + m ∗ ( T ∩ E c ) m^*(T) = m^*(T \cap E) + m^*(T \cap E^c) m∗(T)=m∗(T∩E)+m∗(T∩Ec)，则称E是勒贝格可测集。可测集的全体记作m，称为 R n R^n Rn的可测集类。

于是我们重新描述可数可加性如下：

若 E j ∈ M , j = 1 , 2 , . . . . E_j \in M, j=1,2,.... Ej​∈M,j=1,2,....，这里M指可测集类，则 ⋂ n = 1 ∞ E j ∈ M \bigcap\limits_{n=1}^{\infty}E_j \in M n=1⋂∞​Ej​∈M，若还有 E i ∩ E j = ∅ i ≠ j E_i \cap E_j = \emptyset \quad i \ne j Ei​∩Ej​=∅i̸​=j，则有 m ( ⋃ j = 1 ∞ E j ) = ∑ j = 1 ∞ m ( E j ) m(\bigcup\limits_{j=1}^{\infty}E_j)=\sum\limits_{j=1}^{\infty}m(E_j) m(j=1⋃∞​Ej​)=j=1∑∞​m(Ej​)

证明:

设集合 E 1 , E 2 , . . . , E k , . . . . E_1, E_2, ..., E_k, .... E1​,E2​,...,Ek​,....是一系列互不相交的可测集，由于 E 1 E_1 E1​的可测性，对于任意点集有 m ∗ ( T ∩ ( E 1 ∪ E 2 ) ) = m ∗ ( T ∩ ( E 1 ∪ E 2 ) ∩ E 1 ) + m ∗ ( T ∩ ( E 1 ∪ E 2 ) ∩ E 1 c ) m^*(T \cap (E_1 \cup E_2)) = m^*(T \cap (E_1 \cup E_2) \cap E_1) + m^*(T \cap (E_1 \cup E_2) \cap E_1^c) m∗(T∩(E1​∪E2​))=m∗(T∩(E1​∪E2​)∩E1​)+m∗(T∩(E1​∪E2​)∩E1c​)

因为 E 1 ∩ E 2 = ∅ E_1 \cap E_2 = \emptyset E1​∩E2​=∅，得到 m ∗ ( T ∩ ( E 1 ∪ E 2 ) ) = m ∗ ( T ∩ E 1 ) + m ∗ ( T ∩ E 2 ) m^*(T \cap (E_1 \cup E_2)) = m^*(T \cap E_1) + m^*(T \cap E_2) m∗(T∩(E1​∪E2​))=m∗(T∩E1​)+m∗(T∩E2​)

通过归纳法，不断迭代得到

m ∗ ( T ∩ ⋃ j = 1 k E j ) = ∑ j = 1 k m ∗ ( T ∩ E j ) m^*(T \cap \bigcup\limits_{j=1}^{k}E_j)=\sum\limits_{j=1}^{k}m^*(T \cap E_j) m∗(T∩j=1⋃k​Ej​)=j=1∑k​m∗(T∩Ej​)

令 S = ⋃ j = 1 ∞ E j S = \bigcup\limits_{j=1}^{\infty}E_j S=j=1⋃∞​Ej​, S k = ⋃ j = 1 k E j S_k = \bigcup\limits_{j=1}^{k}E_j Sk​=j=1⋃k​Ej​，由于可测集的并还是可测集，因此 S k ∈ M S_k \in M Sk​∈M，同样满足等式:

m ∗ ( T ) = m ∗ ( T ∩ S k ) + m ∗ ( T ∩ S k c ) m^*(T) = m^*(T \cap S_k) + m^*(T \cap S_k^c) m∗(T)=m∗(T∩Sk​)+m∗(T∩Skc​) = ∑ j = 1 k m ∗ ( T ∩ E j ) + m ∗ ( T ∩ S k c ) = \sum\limits_{j=1}^{k}m^*(T \cap E_j) + m^*(T \cap S_k^c) =j=1∑k​m∗(T∩Ej​)+m∗(T∩Skc​)

由于 S k ⊂ S S_k \subset S Sk​⊂S 得到 m ∗ ( T ) ≥ ∑ j = 1 k m ∗ ( T ∩ E j ) + m ∗ ( T ∩ S c ) m^*(T) \ge \sum\limits_{j=1}^{k}m^*(T \cap E_j) + m^*(T \cap S^c) m∗(T)≥j=1∑k​m∗(T∩Ej​)+m∗(T∩Sc)注意:这里是s的补集 m ∗ ( T ) ≥ ∑ j = 1 ∞ m ∗ ( T ∩ E j ) + m ∗ ( T ∩ S c ) m^*(T) \ge \sum\limits_{j=1}^{\infty}m^*(T \cap E_j) + m^*(T \cap S^c) m∗(T)≥j=1∑∞​m∗(T∩Ej​)+m∗(T∩Sc) ≥ m ∗ ( T ∩ S ) + m ∗ ( T ∩ S c ) \ge m^*(T \cap S) + m^*(T \cap S^c) ≥m∗(T∩S)+m∗(T∩Sc)

将上面式子中 T ∩ S T \cap S T∩S代替T 得到 m ∗ ( T ∩ S ) = ∑ j = 1 ∞ m ∗ ( T ∩ E j ) m^*(T \cap S) = \sum\limits_{j=1}^{\infty}m^*(T \cap E_j) m∗(T∩S)=j=1∑∞​m∗(T∩Ej​)

PS:这步证明没搞明白，怎么就从不等号变等号了？？

将T替换为 R n R^n Rn，证毕。

定义: 一个定义在 E ⊂ R 2 E \subset R^2 E⊂R2上的实函数f(x)确定了E的一组子集， { x : x ∈ E , f ( x ) ; a } \{x:x \in E, f(x) ; a\} {x:x∈E,f(x)>a}，记作E[f > a]

定义: 设f(x)是定义在可测集类 E ⊂ R 2 E \subset R^2 E⊂R2上的实函数，如果对于任何有限的实数a，E[f > a]都是可测集，则称f(x)是定义在E上的可测函数。

PS:这里没搞明白两点，为什么要通过逆像来定义？为什么是大于而不是等于？