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能量信号的Parseval定理周期性功率信号的Parseval定理能量信号的自相关函数功率信号的自相关函数举例序列的能量和功率Matlab验证
能量信号的Parseval定理
∫
−
∞
∞
∣
x
(
t
)
∣
2
d
t
=
∫
−
∞
∞
∣
X
(
f
)
∣
2
d
f
\int_{- \infty }^{ \infty} | x( t ) | ^2 dt = \int_{- \infty }^{ \infty} | X ( f ) | ^2 df
∫−∞∞∣x(t)∣2dt=∫−∞∞∣X(f)∣2df 若
x
(
t
)
x(t)
x(t)为实函数，则上式可写为
∫
−
∞
∞
x
(
t
)
2
d
t
=
∫
−
∞
∞
∣
X
(
f
)
∣
2
d
f
\int_{- \infty }^{ \infty} x( t ) ^2 dt = \int_{- \infty }^{ \infty} | X ( f ) | ^2 df
∫−∞∞x(t)2dt=∫−∞∞∣X(f)∣2df 该定理表明一个实信号的平方的积分，或一个复信号振幅平方的积分（或
x
(
t
)
x
∗
(
t
)
x(t)x^*(t)
x(t)x∗(t)）,等于信号的能量。 信号频率密度的模的平方
∣
X
(
f
)
∣
2
|X(f)|^2
∣X(f)∣2对
f
f
f的积分也等于信号能量，故称
∣
X
(
f
)
∣
2
|X(f)|^2
∣X(f)∣2为信号的能量谱密度。
周期性功率信号的Parseval定理
设
x
(
t
)
x(t)
x(t)周期性实功率信号，周期等于
T
0
T_0
T0，基频为
f
0
=
1
/
T
0
f_0=1/T_0
f0=1/T0，则其傅里叶级数展开式为
x
(
t
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
C
n
e
j
2
π
n
f
0
t
x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_n e^{j2\pi n f_0t}
x(t)=n=−∞∑∞Cnej2πnf0t 其平均功率可以写为
1
T
0
∫
−
T
0
/
2
T
0
/
2
x
(
t
)
2
d
t
=
∑
n
=
−
∞
∞
∣
C
n
∣
2
\frac{1}{T_0} \int_{-T_0/2}^{T_0/2} x(t)^2dt = \sum _{n=-\infty}^{\infty}|C_n|^2
T01∫−T0/2T0/2x(t)2dt=n=−∞∑∞∣Cn∣2 上式表示周期性功率信号的平均功率等于其频谱的模的平方和。
能量信号的自相关函数
自相关函数
R
(
τ
)
R(\tau)
R(τ)反映了一个信号与延迟
τ
\tau
τ后的同一信号的相关程度。 能量信号
s
(
t
)
s(t)
s(t)的自相关函数的定义为
R
(
τ
)
=
∫
−
∞
∞
s
(
t
)
s
(
t
+
τ
)
d
t
，
−
∞
<
τ
<
∞
R(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty}s(t)s(t+\tau)dt，-\infty |