比“公式”更重要的是什么？

——“长方体的体积”教学案例与反思

 素养导向下的数学教学，要以数学知识与技能的学习为载体，启发学生理解知识的本质，感悟知识所蕴含的数学基本思想，积累数学思维和实践的经验，进而形成和发展数学核心素养。以“长方体的体积”的教学为例，毋庸置疑，这节课的重要学习目标是理解、掌握“长方体的体积计算公式”，并学会运用该公式解决一些简单的实际问题。那么，除了这些显性的知识技能目标之外，还能让学生有哪些收获呢？特别是，本节课的学习能对学生数学核心素养的培育做出哪些贡献呢？笔者带着上述思考做了如下尝试。

教学片断一：

课件出示：

师：这条线段有几米长?你是如何知道的?

生：有4米长，因为它里面有4个1米。

师：线段的长度，就是它所包含的长度单位的个数。

课件出示：

师：长方形的面积是多少?你又是如何知道的?

生：面积是12平方分米，因为它里面有12个小方格，一个小方格的面积是1平方分米。

师：长方形的面积就是它所包含的面积单位的个数。

课件出示：

师：怎样才能知道这个长方体的体积是多少呢?

生1：必须知道长方体的长、宽、高，才能知道体积有多大。

生2：我知道“长方体的体积=长×宽×高”。

师：长方体的体积为什么跟它的长、宽、高有关呢？能依照刚才求线段长度和长方形面积大小的方法，讲一讲怎样求长方体的体积吗？

小组讨论后，全班交流。

生：长方体的体积大小，就是它所包含的体积单位的个数。长度单位是线段，面积单位是小正方形，体积单位应该就是小正方体。知道了长是多少，就知道了长方体的长边上能摆几个小正方体；知道了宽是多少，就知道了宽边上能摆几排；知道了高是多少，就能知道长方体中能摆几层；然后就可以算出长方体中有多少个小正方体，长方体的体积就知道了。

【思考】数学需要讲道理。帮助学生“悟出”数学知识蕴含的道理，能更好地把握知识的本质，促进学生数学素养的提升。“长方体的体积=长×宽×高”这一公式背后的数学道理是什么呢？就是长方体的体积等于其包含的体积单位的个数。那么，又该怎样引导学生关注“长方体中包含的体积单位个数”呢？有没有相关的已学知识与经验可以和新知建立联系呢？

基于此，笔者从“线段的长度就是它所包含的长度单位的数量”、“长方形的面积就是它所包含的面积单位的数量”，顺势引出了“怎样知道长方体的体积有多大？”的问题。由于有了前面两个问题的铺垫，学生自然想到要用体积单位去度量。这样不仅赋予体积单位以实际的意义，同时也顺利地引出“用边长为1的正方体摆长方体”这一实践活动。这样，新知识就从学生原有的知识里面自然生长出来，让学生感觉到这个经验与我原来的经验是相关的，而且新的经验对我是有用的。上述教学好处不仅如此，更重要的是由于教师并没有“一叶障目”，孤立地看待“长方体体积”这一个“知识点”，而是从长方体体积这一具体的教学任务中跳离出来，将长方体体积公式的教学提升到“度量”的高度，进而，与线、面的度量统一到一起，不仅顺利实现了学生知识的迁移，同时，也让学生体会到线、面、体的测量其实质是一样的，都是用相应计量单位去度量，有几个计量单位，其数量就是几。有利于学生构建起良好的认知结构。

教学片断二：

师：同学们认为“长方体的体积与长、宽、高有关”，还有同学提到“长方体的体积=长×宽×高”，那么，怎样去验证这个想法呢？可以怎样去研究呢？

学生讨论后，全班交流。

生1：可以用一些小方块摆长方体，找到长、宽、高与体积的关系。

师：为什么用这种方法呢？说说你的想法。

生1：因为数一数摆长方体用了多少个小方块，就知道了体积；再数一数长、宽、高分别是几，再比较比较，就知道它们的关系了。

师：大家明白他的意思吗？

生：明白。

师：讲得很清楚，说明头脑中想得很清楚！那好，下面我们就用这种方法研究一下长方体的体积与长、宽、高的关系。

让学生小组合作，用若干小正方体拼摆长方体，并填写下表。   

拼出的长方体

长

宽

高

体积

我们的发现

 1号

 2号

3号

4号

生1：我们拼出的1号长方体的长是4，宽是1，高是1，用了4个小正方体，体积是4。我们发现：4×1×1=4。我们摆出的2号长方体的长是3，宽是2，高是1，体积是6，我们发现：3×2×1=6。由此证明，长方体的体积=长×宽×高

生2：我们组摆成的长方体的长是4，宽是3，高是2，用了24个小正方体，体积是24，我们发现：4×3×2=24，长方体的体积=长×宽×高。

师追问：这里的4×3是什么意思？

生2：表示一层是12个。

生3：我们摆的长方体的长是4，宽是4，高是3，方块数是4×4×3=48个，体积就是48。

师：能解释一下这个算式的意思吗？

生3：4×4表示一层有16个方块，因为有3层，所以再乘3就得到总共有48个方块，体积是48立方厘米。

师：现在你发现体积与长、宽、高之间的关系了吗？

生1：用长×宽×高就得到体积单位的个数，也就是体积。

师：我们刚才交流的这几个长方体的体积确实都等于长×宽×高，那么是不是所有的长方体都是这样呢？

出示：

8

4

4

师：这个长方体的体积是8×4×4吗？为什么？

生：用小方块去摆，长8就可以摆8个，宽4就可以摆4行，高4就可以摆4层。计算一共有多少个小方块，就用8×4×4。

课件动态呈现拼摆的过程（如下图），验证学生的想法。

师：想一想，“长×宽”算出的是什么？

生：一层能摆多少个小方块。

师：再乘上高呢？

生：高代表有几层，乘上高就算出了长方体所包含的小正方体的总个数。

师：所以，长方体的体积就是——

生：长×宽×高

板书：长方体体积 = 长×宽×高

师：长方体的体积公式用字母表示就是：V = abh。除了这种长方体之外，还有一种特殊的长方体，你们知道吗？

生：正方体

师：正方体特殊在哪儿？

生：长、宽、高都相等。

师：那么，正方体的体积公式是什么呢？

生：正方体的体积=棱长×棱长×棱长（板书）

师：如果用字母a表示它的棱长，那么它的体积公式是怎样的？

结合学生回答，板书：V=a3

【思考】数学教育的基本目标是通过数学教学帮助学生学会思维，它比知识本身更具有可持续发展的价值。在上述教学中，学生在教师的启发引导下，学习着这样的思考：长方体体积的大小，就是指它所包含的体积单位的个数。长方体所包含的体积单位的个数，与它的长、宽、高之间有着怎样的关系呢？能否利用小正方体摆一些长方体，试着从中去寻找体积与长、宽、高的关系，以找出长方体体积的计算方法？学生通过观察所呈现的长方体，收集相关数据，寻找体积与长、宽、高之间的联系，归纳出其体积的计算方法。学生亲身经历利用数形结合探究问题的过程，不仅获得了长方体体积的计算公式，而且积累了如何进行探究的思维经验和实践经验，对学生核心素养的形成和发展方面所产生的作用，是那种在教师指令下进行的动手操作所远不能及的。

教学片断三：

出示：计算下面长方体的体积（单位：厘米）

5

4

3

学生代入公式计算得：V=abh

                     =5×4×3

                     =60(立方厘米)

师：这里的“5×4”表示什么意思？

生1:5×4，是长×宽，算出的是面积。

师：算出的是面积，这个得数20的单位名称就是——

生1：平方厘米。

师：他说表示的是面积，20平方厘米，同意吗？

生2：不对，应该是它一层的体积。

师：这体积单位是——

生2：立方厘米

师：有意思了，现在出现了两种不同的意见：一种认为是体积，是20立方厘米；还有一种认为是面积，是20平方厘米。到底谁的对呢？

学生小组讨论。

组1：我们组的意见，“5×4”算出的是体积。因为“5×4”表示的是它下面一层的体积。

师：这下面一层的体积，是什么样子呢？你们能想象出来吗？

在学生展开空间想象的基础上，课件进行直观演示（如下图）

师：这就是你们所说的“20立方厘米”？

生：是的。

师：对他们这种说法，都同意吗？

生2：“5×4”没有乘1，算出的不是体积，而是面积。

师：你们认为体积应该怎么算？

生2：应该是“长×宽×高”，可是这里只是“长×宽”，所以算出的是面积。

在学生展开想象后进行直观演示。（如下图）

5

4

3

师：“5×4”到底表示什么呢？（指着底面）这个图形肯定是一个面。如果是体积的话，它肯定得有高度，那这个高度是多少呢？算式呢？

结合回答板书“5×4×1”，并进行“面的运动”形成高为1厘米的长方体。

接着，课件演示：又将“面”向下移动到0.5厘米的高度

师：这样得到的是“面”还是“体”？现在这个长方体的体积怎么算？

生：5×4×0.5

然后，课件演示：继续将“面”向下移动至高为0.1厘米、0.01厘米、……学生展开想象，进行类推，得出体积是2立方厘米、0.2立方厘米、……

最后，课件演示：将“面”移动至于底面重合。

师：现在没有高度了，它还有体积吗？

生：没有体积了，因为它是一个面，面积是20平方厘米。

师：是啊，现在它是一个面，面积是20平方厘米。但是，只要把这面往上稍微平移一下，它就形成了——

生：体

师：对呀！把一个点移动后就形成了“线”；把一条线移动后就形成了“面”；把“面”移动后就形成了“体”。所以，长方体的体积与它的底面的面积和高有关。

板书：长方体体积=底面积×高

         V=Sh

师：长方体体积除了可以用“底面积×高”计算，还能怎么算？

课件出示：

5

4

3

生：可以用右面的面积乘长方体的长，因为如果把长方体竖起来，右面就变成了底面，长就变成了高。

师：生活中通常把长方体的左面或右面称作“横截面”，长方体的体积也等于横截面的面积×长。（板书）

课件显示：动态移动右面形成不同长度的长方体，让学生分别说出长是4厘米、3厘米、0.5厘米时计算长方体体积的算式。

【思考】从上面的交流互动中不难发现，学生对于推导得出的“长方体体积=底面积×高”并不容易接受，因为之前计算长方体所含体积单位的个数时，那“一排的个数×排数×层数”给学生留下了深刻的印象，学生头脑中的“5×4”就是表示一层长方体的体积。因为，在学生看来，“面积是平面图形的，而平面图形是没有厚度的，怎么能叠成长方体呢”，这些才是学生的真问题。

为此，教师站在学生的视角进行质疑：“5×4”表示什么意思？让学生充分发表自己的观点，进行思维的碰撞，并借助课件直观地演示“面”的移动。学生展开想象，进行类推。学生从中感受到了量变引起的质变，实现着二维平面与三维空间的转换。接着，启发学生联想：后面的面、左面的面移动形成的长方体，发现其体积的计算公式，举一反三地将长方体体积计算公式进行沟通，形成结构化的知识。

经过这样的探究活动过程，学生不仅解决了存在于头脑中的真问题，对数学知识的本质有较了更为深刻的理解，而且通过图形的运动变化、进行空间想象及平面与立体的转化，直观想象素养也得到了培养。

教学片断四：

师：想一想，我们是怎么得到长方体的体积公式的？

生：我们先提出“猜想”，再通过操作等活动去“验证”。

师：在这个过程中用到了哪些有用的方法呢？

生：举例子、找规律；……

【思考】数学思维的发展主要是指由较低层次上升到更高层次。但是，“只要儿童没能对自己的活动进行反思，他就达不到高一级的层次”。（弗赖登塔尔）因此，教学中，要有意识地提供给学生反思自己学习的机会，帮助学生借助反思更有效地发展思维，实现自我指导与监控的学习。上述教学中教师的反问，就是在教学生学会用数学的思维方式思考问题，教学生总结有价值的学习方法。