高等数学:第九章 重积分(2)三重积分的概念、应用,利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 |
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§9.4 三重积分的概念及其计算法 一、三重积分的定义 设 其中 在每个小区域 作乘积 作和式 以 若极限 则称此极限值为函数
即 其中 自然地,体积元素在直角坐标系下也可记作成 二、三重积分的存在定理 若函数在区域上连续, 则三重积分存在。 特别指出:二重积分的一些术语、性质可相应地移植到三重积分。 三、三重积分的物理意义 如果 故 特别地, 当 四、三重积分的计算法 假设积分区域
其中 如何计算三重积分 不妨先考虑特殊情况 即 一般情况下,类似地有 显然积分 那么 如上图所示, 区域 从而 综上讨论, 若积分区域 则 这就是三重积分的计算公式, 它将三重积分化成先对积分变量 如果平行于 例如,求 将面将区域剖分成上下两个部分区域 则 【例1】计算 解:(1)、画出立体的简图 (2)、找出立体
(3)、确定另一积分变量的变化范围 在已知积分变量 (4)、选择一种次序,化三重积分为三次积分
§9.5 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 对于某些三重积分,由于积分区域和被积函数的特点,往往要利用柱面坐标和球面坐标来计算。 一、利用柱面坐标计算三重积分 1、柱面坐标 设 规定
柱面坐标系的三组坐标面分别为
点
2、三重积分 用三组坐标面 考察由 这便是柱面坐标系下的体积元素, 并注意到(1)式有
(2)式就是三重积分由直角坐标变量变换成柱面坐标变量的计算公式。 (2)式右端的三重积分计算,也可化为关于积分变量 3、用柱面坐标 (1)、找出 (2)、在 【例1】求下述立体在柱面坐标下的表示形式
其极坐标下的表示形式为
即 故
其极坐标下的表示形式为
即 故 【例2】用柱坐标计算三重积分 解: 二、利用球坐标计算三重积分 1、球面坐标 如图所示,空间任意一点 其中:
规定
不难看出,点
2、球面坐标系的特点
粗略地讲, 变量 变量 变量 3、三重积分在球面坐标系下的计算公式 用三组坐标面 这就是球面坐标系下的体积元素。 由直角坐标与球面坐标的关系式(3)有
(4)式就是三重积分在球面坐标系下的计算公式。 (4)式右端的三重积分可化为关于积分变量 4、积分区域的球面坐标表示法 积分区域用球面坐标加以表示较复杂,一般需要参照的几何形状,并依据球坐标变量的特点来决定。 实际中经常遇到的积分区域
例如:若 曲面 于是 【例3】求曲面 解: 下面根据图形及球坐标变量的特点决定 (1)、 (2)、在 (3)、在 因此, 故 也可以利用柱坐标来计算该立体的体积。
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