PACTEL压水堆整体测试设备在2009年建造，用于带有垂直倒U型管蒸汽发生器的压水堆热液压相关的安全性研究,参见图1。

PACTEL压水堆设施包括一个反应堆压力容器模型、两个带有蒸汽发生器的回路、一个连接到一个回路的稳压器和应急堆芯冷却系统。压力容器为U型管结构，代表降液管、下增压室、芯体和上气室。PACTEL压水堆设备内的蒸汽发生器U型管束包含51根倒U型管，排成10行。表I列出了每一行的U型管的管数N、高度H、管长l和弯管半径r。U型管的内径和外径分别为D=16.57mm和D= 19.05mm。

通过自然循环，冷却剂从每根倒U型管道的一侧流动到另一侧，把核反应装置中的非能动余热排出，从而提升反应堆固有安全性能。蒸汽发生器倒U型管内可能存在负的进出口压降，从而诱发冷却剂倒流现象，导致系统内部的冷却剂流量低于设计值，严重影响一回路冷却剂系统的热量输运，给反应堆的运行安全带来极大挑战。对倒U型管倒流现象进行分析，研究蒸汽发生器并联倒U型管间的流量分配特性，评估自然循环条件下蒸汽发生器的流动不稳定性，对反应堆的运行安全性能具有重要意义。

 把倒U型管流入一侧称为一次侧，流出一侧称为二次侧。当管道内流量非常小时，二次侧可能发生倒流现象。由于U型管道为细长形，相关物理量仅和管线s(0≤sSI)方向有关。为了进一步简化，假设U型管内流体速度v恒定。

问题1:对一根U型管中的液体流动建立模型，研究液体的温度T、密度p对管线s的依赖。

建立液体流动的数学模型，假设液体流体速度为v，温度为T，密度为ρ。考虑管线s方向的变化，我们可以得到以下偏微分方程：

质量守恒方程： ∂(ρA)/∂s = 0

动量守恒方程： ρv∂v/∂s = -∂P/∂s - ρg + ρg_sin(θ)

能量守恒方程： ρv∂T/∂s = -∂(ρvH)/∂s + Q - ρg_v*sin(θ)

其中， ρ：液体密度 A：管道横截面积 P：压力 g：重力加速度 θ：管道倾角 H：比焓 Q：热源项（包括热传导和热发生）

在这个模型中，我们假设液体速度v在管线s方向上是恒定的。这个假设适用于流量非常小的情况，可以忽略流动的影响。

温度T和密度ρ对管线s的依赖可以通过能量守恒方程来研究。方程中的项包括了流体的比焓H和热源项Q。比焓H随着液体温度的变化而变化，而热源项Q则与流体中的热传导和热发生有关。

问题2:研究一根U型管的进出口压差△p如何依赖管内流体速度v，进而分析形成液体倒流的原因。请画出Ap和v之间关系的一条曲线。当Ap大于某个临界值（最小压差），管内液体向前流动，称之为正流管;否则，管内液体倒流，称之为倒流管。根据表1中的数据，计算每种类型的U型管，计算最小压差，并填入表I中的最后一列中。

本题的思路是利用伯努利方程和管道阻力方程建立模型。

根据伯努利方程，对于一根U型管，流体在进口和出口位置的总能量是相等的，可以表示为：

P1 + 0.5 * ρ * v1^2 + ρ * g * h1 = P2 + 0.5 * ρ * v2^2 + ρ * g * h2

其中，P1和P2分别是进口和出口处的压力，ρ是液体的密度，v1和v2是进口和出口处的速度，g是重力加速度，h1和h2分别是进口和出口处的高度。

根据管道阻力方程，液体在管道内的摩擦阻力与液体速度成正比，可以表示为：

Δp = f * (L/D) * (ρ * v^2 / 2)

其中，Δp是进出口压差，f是摩擦系数，L是管道长度，D是管道直径。

为了研究△p和v之间的关系，我们可以将伯努利方程和管道阻力方程联立求解。首先，我们需要确定模型的参数，包括管道长度、管道直径、液体密度和摩擦系数。

根据表1中给出的数据，我们可以计算出每种类型的U型管的最小压差△pc。然后，我们可以选择一个合适的管道长度和管道直径作为模型参数，并根据给定的液体密度和最小压差计算出摩擦系数f。

问题3:以PWR PACTEL模型下的蒸汽发生器为计算对象。10组倒U型管的管长依次增加(见表I)，第i组倒U型管数量为N根。在进行并联倒U型管流量分配计算时，假设并联倒U型管进出口压力相同，所有正流管进口温度相同。蒸汽发生器内部的进出口压降和系统压力相比非常小，实际中难以测量，所以将进出口压降视为未知量。系统内自然循环的流量低，很难准确测出流量的准确值，因此将一次侧进口流量也视为未知量。蒸汽发生器是一二次侧热量交换的场所，忽略一次侧通道中热量在沿程传递时的损失，单位时间内通过倒U型管传递到二次侧的热量约等于反应堆在单位时间内发出的热量，即反应堆功率P。(1)请给出算法计算给定反应堆功率下每个管道的流动情况。(2)通过表I中的数据，计算分析U型管内倒流管占的比例，并研究这些倒流管和它的管长之间的关系。(3)分析哪些途径可以减少倒流现象。

（1）

定义模型参数：

根据给定参数，计算每组倒U型管的总长度 L_group = N_pipe * l_pipe

假设所有倒U型管的进口温度相同，根据反应堆功率和热传导公式，计算每个管道的传热速率 Q_transfer = P / (N_group * N_pipe)

假设并联倒U型管进出口压力相同，根据管道阻力方程和流量分配公式，求解进出口压降 Δp 和一次侧进口流量 Q_in：

输出每个管道的流动情况：