浅谈结构稳定分析之一：屈曲分析

公共建筑如商业mall，办公楼等内部因为其他建筑功能、效果的需求，可能存在穿层柱、长柱（层高比较大）、穿层墙等，这类竖向构件长细比较大，稳定问题比较突出，在结构设计之初，对其稳定性问题进行研究与论证，常采用的手段为屈曲分析，目前行业内部屈曲分析的方法千奇百怪，且没有统一的做法，且大多数做法存在明显的问题。本节就穿层柱、长柱等杆系单元的稳定问题进行讨论，穿层墙后面的章节再做讨论。

一．屈曲分析的理论前提

根据《材料力学》孙训方第九章中给出，下面公式（1），且教材给出一般常见构件的计算长度系数，具体计算长度系数的物理意义是什么？陈绍蕃老师专著《钢结构稳定设计指南》第3章进行了解释，就是将具有端部约束的构件比拟为承载力相同而长度不同的两端铰接杆件看待。为啥要比拟呢？比拟了有啥好处呢？这个留给读者自己思考，可以在评论区打出来。

（1）

如果已知构件截面、构件两端的约束情况、构件几何长度，可以通过上面的公式可以直接计算构件的欧拉临界荷载，但是建筑结构中穿层柱、长柱往往边界条件复杂，这就导致一个很棘手的问题，构件的计算长度系数无法通过材料力学中的表9-1得到。很多工程师借助另外的一个工具求解该类竖向构件的临界荷载Fcr，屈曲分析（Buckling Analysis）。屈曲分析的核心是求解下面公式（2）的特征值：

                   （2）

行业内部目前很多人将采用此公式求得的欧拉临界荷载，与柱子在各种工况下的轴力包络值进行比较，实际的轴力小于临界荷载则柱子是安全的，实际此种做法是完全错误的。目前较为流行的做法是利用上式（2）求的临界荷载带入公式（1）中反算计算长度系数，再将反算出的计算长度系数代入构件的稳定校核公式计算稳定系数φ，用来计算构件的稳定承载力，这种相对来说理论完备。对于钢柱来直接屈曲分析求的欧拉临界荷载当做稳定承载力，就没考虑构件残余应力、初始几何缺陷等对稳定承载力的影响。

二．屈曲分析的目前存在的最棘手的问题

童根树老师在《钢结构平面内稳定》中提到，轴向的拉应力代表正刚度，轴向压应力代表负刚度。那么当压应力大到一定程度可以直接抵消柱子本身的刚度时，柱子就会失稳。

根据公式（2），构件的刚度K已知，求解屈曲因子λ需要知道G，G如何取？是取构件承受的1.0恒载+1.0活载作用下的轴力值，还是直接施加单位力，这里又要扯出另外一个问题，竖向柱子的相互支援，陈绍蕃老师经典著作《钢结构设计原理》有一个计算长度系数为2.69的经典算例想必很多人都读过，这里我将他贴在下面，我们来做一个讨论。

为验证陈绍蕃老师书上计算长度系数2.69的是否与屈曲分析的结果相符，采用相同的模型进行屈曲分析，跨度与柱高均为5m，柱子截面跟梁截面均为300×300mm，材质均为C30，根据计算屈曲分析通过欧拉公式反算计算长度如下式（3）所示，反算结果与解析解非常接近。

为了将问题阐述的更透彻，将陈老师书上的算例进一步扩展，书上的算例是将竖向荷载W平均分配到了柱顶，相当于B点作用着竖向荷载W/2，C点作用着竖向荷载W/2，试想，如果B点作用着10W竖向荷载，C点作用着W竖向荷载，计算长度系数是多少？此时的P左柱=10W，P右柱=W，H=10WΔ/h，将此式再带入陈老师专著中的式2.2，手算解析解（4）与数值仿真反算出的计算长度系数式（5）完全一致。

从上面的分析来看，G对屈曲因子的影响非常显著，且进一步影响到柱子的计算长度系数，在这里笔者想提出另外一个概念对柱子相互支援作用的理解，在陈老师书上的算例来看，右柱要支援左柱，之所以右柱的计算长度系数算出来比悬臂住的还大，就是要把右柱稳定承载力的留有余量，这部分余量可以近似看成是计算计算长度系数为2的柱子稳定承载力与计算长度系数为2.69的柱子稳定承载力的之间的差值，用这部分稳定承载力余量，去给左右柱平分竖向荷载这种特定工况下的左柱提供支援，换句话说，假设理想悬臂柱的稳定承载力是Ncr，他要把F1留出来去帮左柱，抵抗自身上部传下来的荷载承载力是F2，F1+F2=Ncr，

扯到这里，把我想要说的问题引出来了，本小节刚开始起始说的那个问题，求解屈曲因子λ需要知道G，G如何取？因为建筑结构中一般一层有几十根柱子，几十根柱子中，强的柱子势必要给弱的柱子提供支援，很多结构工程师做屈曲分析时，直接在柱子上加单位力，不管是1kN,还是100kN，10000kN,最终跟屈曲因子相乘总会得到一个临界荷载Ncr，但是在这里笔者想说的是，请注意，这个就没有考虑其他柱子上部荷载对该柱稳定承载力的影响，比如其他柱子受到的轴向压力，会使得其他柱子刚度减小，给该柱子提供的支援作用会减小，再比如其他柱子受到的轴向拉力，会使得其他柱子刚度增加，给该柱子提供的支援作用会增加。那么使得屈曲分析的该如何考虑相互的支援；加单位力求出来的Ncr就是笔者在上面所说的该柱在他本来在建筑物中所处的位置下的边界条件就是梁EI约束条件下的的稳定承载力Ncr，这个里面要拿出一部分去支援其他柱子，那么设计这个柱子的时候，就必须要把他去支援他的这一部分余量拿出来，陈老师书上的案例是通过增大计算长度系数去解决，这样设计柱子时就会得到一个更小的稳定系数φ，对柱子的承载力打更多的折，留下的余量去支援。

通过上面的算例可以知道，柱子相互支援跟柱子的内力关系很大，因此，笔者在这里想点出，屈曲分析应该通过实际的荷载工况去做，就跟上面两个算例一样，不同的竖向柱子内力分配，由于相互支援作用的影响，得到的柱子计算长度系数就不一样，比如一栋楼在1.3恒载+1.5活载作用下的柱子轴力为情况1，地震参与进来的组合，柱子内力分布情况2，风荷载参与进来柱子的内力分布为情况3，这些情况下，其实反算出来的计算长度系数各不一样的。如果拿单位力作不是不可以，你做出来的这个Ncr，还要给其他柱子有可能要提供支援。在这里我想我把这个问题已经说明白了。

此外笔者在大量的项目中发现，在上面的情况1、2、3中，你算几十个模态都不一定找得到，该柱子失稳的那个模态，这样的问题笔者遇到过无数次，用单位力直接加载该柱子，一般会直接得到该柱子第一阶屈曲模态，因此笔者目前能想到的办法，就是不管三七二十一，在各个工况的分析中，不管该柱子有没有屈曲，均取第一阶荷载作为屈曲荷载（这样做虽然不对，但是能偏于保守的快速拿到计算长度），然后与单位力加载的结果反算计算长度系数对比分析，综合评估计算长度系数。

下面回到初始的那个问题对一般穿层柱、长柱进行一些判断，试想如果是一般的穿层柱一般长细比较大，其实其他正常柱子给穿层柱提供支援应该是大概率的，除非穿层柱在特定的工况中是受拉的，其他柱子是受压的，那他要给其他柱子提供支援。比如民用办公楼底层层高较大10几米的长柱，本层截面都一致，那么强的柱子该给弱的柱子提供支援。

当然在众多的通用程序中有继承刚度的选项，可以采用各种荷载组合得到工况进行非线性分析，得到构件轴力对构件刚度的修正刚度模型，然后在此基础上再进行屈曲分析也可以。

三．屈曲分析反算计算长度系数的另外一个问题

目前用做屈曲分析的常用程序有SAP2000、ETABS、MIDAS-Gen，笔者在使用时发现另外一个问题，笔者对前面材料力学中的几个特殊约束类型的竖向柱子做了变参数分析，反算计算长度系数，考察了竖向构件尺度反算出来的计算长度系数的影响，废话不多说，直接上图。通过下面看出，并不是所有的柱子都适合反算，可能存在稳定问题的柱子几何长度与边长之比基本都大于10以上了，这样看出，反算的结果相对来说比较接近理论值，某些混凝土柱子，几何长度与边长之比小于5，用反算法反算计算长度系数就不合适，当然这些柱子一般也没有稳定问题。

四．总结

说到这里把我想说的屈曲分析的几个问题说完了，总结一下

1.对于一般民用建筑，柱子截面尺寸不大时，柱上顶荷载，在恒加活作用下相差可能不大，但是在其他侧向荷载工况下，柱子内力相差比较大时，应考虑相互支援的影响对稳定承载力的影响；

2.直接拿屈曲分析的临界荷载与柱子轴力比较，就得出柱子安全与否的方法是错误的，不可行。应当还是以反算计算长度系数法，算出计算长度系数，然后带入规范公式验算其稳定承载力（这样才能考虑其他因素对构件稳定承载力的影响，比如钢构件残余应力、初始几何缺陷等）；

3.各种工况下屈曲分析时，如果实在找不到该柱子的屈曲模态，可以直接第一阶屈曲模态对应的屈曲因子与该柱子在此工况下的轴力相乘直接得到其屈曲荷载然后反算其计算长度系数（这样做虽然不太合适，但是偏于安全）；

4.直接采用单位力法加载求解得到的临界屈曲荷载其实没有考虑相互支援的影响，可以采用各种荷载组合得到工况进行非线性分析，得到构件轴力对构件刚度的修正刚度模型，然后在此基础上再进行屈曲分析。

知识点：浅谈结构稳定分析之屈曲分析