在电学领域中，LC电磁振荡电路被认为是一种经典而重要的系统。本文试图通过一种探索性的方式推导该电路的周期性特征，作为学生，我们希望通过这个尝试为读者提供一个简明而清晰的探索视角。在剖析电荷、电流和电场等基本物理量的数学建模过程中，我们将尝试揭示LC电路中电磁振荡频率与电路元件参数之间的关系。

为了开始我们的推导，我们首先需要考虑LC电磁振荡电路的基本模型，如下图所示

这个LC电磁振荡电路图展示了一个基本的电磁振荡系统，由电感线圈（L）和电容器（C）组成。当开关K与1连接时，电容器C将开始充电，充电完成后将开关K转向2号位点，左侧的LC电磁振荡电路将产生周期性电流，其周期为

$$ T=2\pi\sqrt{LC} $$

探索初期，由于作者对电感线圈的相关物理模型知之甚少，因此我们选择首先从电容器的角度进行推导。

根据电容器的电容公式 $C=\frac{Q}{U}$ ，我们有

$$ Q=CU $$

其中$Q$为电容器的电荷量，$U$为电容器两极板间的电势差。

那么当经过极短时间 $\mathrm{d}x$ ，可得瞬时电流大小为

$$ I=\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=Q^\prime $$

由电感线圈的自感电动势公式，我们有

$$ \begin{aligned} E&=L\cdot\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t} \\ &=L\cdot I^\prime \\ &=L\cdot Q^{\prime\prime} \\ \end{aligned} $$

考虑到自感线圈的感抗效果，其自感电动势应当与电容器$C$两极板间的电势差相反，故有

$$ E+U=0 $$

此处严谨化的等式建立应当使用基尔霍夫电压定律进行推导。

带入上述$E$和$U$可得

$$ L\cdot Q^{\prime\prime}+\frac{Q}{C}=0 $$

即

$$ LC\cdot Q^{\prime\prime}+Q=0 $$

这便是我们最终需要解决的微分方程了，我们将尝试对其进行求解。

求解初期，在和同学的讨论中我们选择了换元法进行求解，具体步骤如下

$$ \frac{\mathrm{d^2}Q}{\mathrm{d}t^2}=-\frac{1}{LC}Q $$

考虑到 $\frac{\mathrm{d^2}Q}{\mathrm{d}t^2}=\frac{\mathrm{d}Q^\prime}{\mathrm{d}t}$ 且 $\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=Q^\prime$ ，我们可以得到

$$ Q^\prime\mathrm{d}Q^\prime=-\frac{1}{LC}Q\mathrm{d}Q $$

两边同时积分可得

$$ \int Q^\prime\mathrm{d}Q^\prime=\int-\frac{1}{LC}Q\mathrm{d}Q $$

$$ \frac{1}{2}Q^{\prime2}=-\frac{1}{2LC}Q^2 $$

此处考虑到常数$C$可能不具有物理意义，故将其省略不写

约分后两边开方可得

$$ Q^\prime=\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=\frac{i}{\sqrt{LC}}Q $$

移项得

$$ \frac{1}{Q}\mathrm{d}Q=\frac{i}{\sqrt{LC}}\mathrm{d}t $$

两边同时积分得

$$ \int\frac{1}{Q}\mathrm{d}Q=\int\frac{i}{\sqrt{LC}}\mathrm{d}t $$

$$ \ln|Q|=\frac{i}{\sqrt{LC}}t $$

$$ Q=e^{\frac{i}{\sqrt{LC}}t} $$

由欧拉公式 $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ 可得

$$ Q=\cos\frac{t}{\sqrt{LC}}+i\sin\frac{t}{\sqrt{LC}} $$

此时我们得到了一个复数形式的解，但我们需要的是一个实数形式的解，此处我们直接将虚数部分舍去，强行得到了周期公式

$$ T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{LC} $$

答案正确无误，但是推导过程中我们用到了太多的不严谨内容，例如舍去积分常数、强行开方带入虚数、直接将虚数舍去得到结果等，这些做法都是不严谨的。

在与同学的讨论中，我们发现了一个更加严谨的微分方程求解方法，具体步骤如下

对于微分方程

$$ LC\cdot Q^{\prime\prime}+Q=0 $$

可得其特征根方程为

$$ kr^2+1=0 $$

类似待定系数法，即设$Q=e^{rx}$将微分方程化简可得$e^{rx}(LC\cdot r^2+1)=0$，求解$(LC\cdot r^2+1)=0$即可。

由此可得$Q$的通解

$$ Q=C_1\sin\frac{t}{\sqrt{LC}}+C_2\cos\frac{t}{\sqrt{LC}} $$

由辅助角公式可化为

$$ Q=C\sin(\frac{t}{\sqrt{LC}}+\phi) $$

抑或是

$$ Q=C\cos(\frac{t}{\sqrt{LC}}+\phi) $$

则由此可得

$$ T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{LC} $$

我们发现通过上述方式的推导不仅能够限制在实数范围，我们还使用振幅$C$和相位角$\phi$扩展了$Q$的实际函数情况。

通过对LC电磁振荡电路的周期性特征进行探索性推导，我们从电容器的角度出发，建立了微分方程并尝试对其进行求解。在初步的推导中，我们采用了一些不严谨的方法，如舍去积分常数、强行开方带入虚数等。然而，经过同学的讨论和反思，我们找到了更加严谨的微分方程求解方法，得到了通解，并最终得到了周期公式$T=2\pi\sqrt{LC}$。

这个探索过程让我们意识到在物理建模和数学推导中要保持严密性，避免不严谨的处理方式。通过更加准确的方法，我们得到了相同的周期公式，这进一步加深了对LC电磁振荡电路的理解。

在未来的学习中，我们将更加注重严谨性，同时继续探索电学领域中更多有趣而深刻的问题。