本节按照逐步深入的思路，研究单摆的运动。具体内容按以下思路展开：

1．首先建立单摆模型，在此基础上，用图像研究摆球位置随时间的变化，得到单摆的振动图像。对图像定性分析，提出单摆可能做简谐运动的猜想。

2．分析摆球受力与运动状态改变的关系，认识摆球受到的回复力由重力沿轨迹切线方向的分力提供；推导回复力与摆球偏离平衡位置位移的关系，验证单摆做简谐运动的猜想，明确单摆做简谐运动的条件。

3．在观察猜想的基础上，用控制变量法探究单摆做简谐运动的周期与摆长的关系，并利用单摆做简谐运动的周期公式测量当地的重力加速度。

学习本节内容，将经历观察现象、建构模型、猜想假设、推理论证、实验探究与测量等过程，有助于学生科学思维和科学探究能力的发展。通过对单摆运动有意识的探究，可以形成对其规律的描述与解释，培养学生认真细致、实事求是的态度，增强团队合作的意识。

这里利用生活中实际物体的来回摆动创设情境，突出了“摆动”的运动特征。通过抽象建立单摆模型来研究其规律，体现科学研究总是从简单情况着手的思路。

在由沙摆获得振动图像的实验中，若以速度 v 匀速拉动硬纸板，纸板通过的距离 L = vt，该距离 L 即表示沙摆摆动所经历的时间 t。图中从坐标原点开始，横轴方向的线段长反映了摆从初始时刻（0 s），沿纵轴方向摆动的时间 t。这种以空间表示时间的方法也应用于地震监测仪、心电图仪等技术中。

单摆的摆动不同于弹簧振子的运动，摆球是在竖直平面内沿以悬点为中心的圆弧来回运动，因此，一般研究其角位移随时间的变化。如教材图 2 – 19 所示，设单摆的摆球质量为 m、摆长为 l。当摆球经过角位移为 θ 的位置时，其重力沿切线方向的分力充当回复力，表达式为 F = mgsinθ，式中负号表示力的方向与角位移的方向相反。设此时该回复力产生的切向加速度为 a，则由牛顿第二定律可得，− mgsinθ = ma，代入加速度 a = l \(\frac{{{{\rm{d}}^2}\theta }}{{{\rm{d}}{t^2}}}\)，整理后可得，\(\frac{{{{\rm{d}}^2}\theta }}{{{\rm{d}}{t^2}}}\) + \(\frac{g}{l}\) sinθ = 0。

与简谐运动的动力学方程 \(\frac{{{{\rm{d}}^2}x }}{{{\rm{d}}{t^2}}}\) + ω2x = 0 对比，摆球角位移随时间并不按余弦函数规律变化，因此，单摆的摆动并不是简谐运动。只有在小角度摆动的情况下，由于 sinθ ≈ θ，单摆才近似做简谐运动。

单摆的等时性是在小角度摆动时的近似结论。理论计算表明，即使最大摆角达到 15°，摆的实际周期与等时周期相差不超过千分之五。周期与最大摆角的关系可参见本书第 56 页资料链接。

这是一个测量类学生实验，目的是根据单摆周期公式，利用单摆摆动的周期性，测量当地重力加速度的大小。在物理实验与活动部分中，本实验要求学生自主选择器材、设计实验步骤，选择数据处理方式、思考减小实验误差的方法等，以呼应课标最终要求学生独立撰写完整实验报告的水平要求。

1．参考解答：单摆运动的轨迹为圆弧，单摆的小角度摆动可视为简谐运动，经过平衡位置时在振动方向上外力为零，在指向圆心方向的合力不为零，摆球不处于受力平衡状态。在水平方向做简谐运动的弹簧振子经过平衡位置时回复力为零，合力为零，处于受力平衡状态。

命题意图：把单摆与弹簧振子两个简谐运动常用模型进行对比，从力与相互作用的角度分析单摆的简谐运动。

主要素养与水平：运动与相互作用观念（Ⅲ）；模型建构（Ⅱ）。

2．参考解答：由简谐运动的特点可知，当摆角增大，摆球偏离平衡位置的位移增大，动能转化为重力势能，所以速度减小；由回复力和位移的关系 F = − kx 可知，位移增大，回复力也增大。

提示：回复力的大小，也可用 F回 = mgsinθ 表示，可得摆角 θ 增大，回复力也增大。

命题意图：引导从生活中摆（单摆摆动）的情境思考摆角增大时速度的变化情况；从单摆回复力是重力沿圆弧切线的分力，或机械运动的回复力与位移的关系，多视角厘清各个物理量之间的关系，分析摆角增大过程中它们的变化。

主要素养与水平：运动与相互作用观念（Ⅰ）；能量观念（Ⅰ）；科学推理（Ⅲ）。

3．参考解答：光电门传感器的工作原理是：挡光时，通过的电流为零；无挡光时，电流不为零。光电门传感器位于摆的最低点，摆球通过光电门传感器时挡光，电流为零。单摆经过平衡位置起，在一个周期内会经过平衡位置两次，所以单摆的周期对应图 2 – 23 中的 t1 ~ t3 或 t2 ~ t4 时间段。

命题意图：呼应教材中的自主活动，能用光电门传感器测量单摆的周期，了解单摆周期测量的原理。

主要素养与水平：模型建构（Ⅲ）；科学推理（Ⅱ）。

4．参考解答：单摆周期 T 与重力加速度 g 的关系为：T = 2π \(\sqrt {\frac{l}{g}} \)。若以悬点到摆球下端的长度作为摆长，则摆长偏长；若测周期时，以摆球经过平衡位置起计时，每次经过记为一次全振动，则周期偏小；以摆球经过平衡位置起计时，第一次经过读数为“1”，读数“30”认为全振动是 30 次，其实只有 29 次，则周期偏小。这些均可能导致测得的重力加速度值偏大。

命题意图：“用单摆测量重力加速度大小”的实验，是有一定精度要求的实验，设想实验中可能发生的错误操作，预测其对测量结果的影响，引导实验中加以关注。

主要素养与水平：质疑（Ⅲ）；科学态度（Ⅱ）。

5．参考解答：一般吊车缆绳与物体组成的摆动系统的摆动偏角很小，将吊车缆绳下物体的摆动视为单摆做简谐运动，其从一侧最高位置摆到另一侧最高位置的时间为半个周期，周期 T = 10 s。根据单摆周期公式 T = 2π \(\sqrt {\frac{l}{g}} \) 可知，\(\frac{{T_1^2}}{{T_2^2}}\) = \(\frac{{{l_1}}}{{{l_2}}}\)，故缆绳的长度约为 25 m。

命题意图：将缆绳下物体的运动抽象为单摆的小角度摆动，利用秒摆的信息，通过比较估算绳长。

主要素养与水平：运动与相互作用观念（Ⅱ）；模型建构（Ⅲ）。

6．参考解答：单摆的用期 T = \(\frac{t}{n}\)。图 2 – 24 中图线的斜率 k = \(\frac{{{T^2}}}{l}\)，根据单摆周期公式 T = 2π \(\sqrt {\frac{l}{g}} \)，得 g = \(\frac{{4{\pi ^2}l}}{{{T^2}}}\)，故重力加速度 g = \(\frac{{4{\pi ^2}}}{k}\)。

命题意图：呈现不同的数据分析方式，通过推理获得结论，培养学生在实验中多样化数据处理的能力。

主要素养与水平：解释（Ⅲ）；科学论证（Ⅱ）。

“单摆周期与振幅无关”的讨论

只有在摆角足够小的情况下，单摆的摆动才可以近似看作简谐运动，其周期才满足公式 T = 2π \(\sqrt {\frac{l}{g}} \)，与振幅无关，是单摆的固有周期。在任意摆角的情况下，单摆周期 T 与最大摆角 θ 的关系为：T = T0（1 + \(\frac{1}{4}\) sin2θmax + \(\frac{9}{64}\) sin4θmax + …）（得出这一结果的参考文献，可通过“单摆的周期与摆角的关系”关键词检索查阅）。

根据上述公式，可以计算出最大摆角 θmax 对单摆周期的影响，如下表所示。

θmax

5°

10°

15°

20°

30°

45°

60°

\(\frac{{T - {T_0}}}{{{T_0}}}\)

0.000 5

0.001 9

0.004 3

0.007 7

0.017 4

0.036 9

0.071 9

可见，当摆角较小时，单摆的摆动可视为简谐运动，其摆动具有等时性，周期为固有周期。