高等数学:第五章 定积分(4) 定积分的换元法 |
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§5.4 定积分的换元法 一、换元公式 【定理】若 1、函数在上连续; 2、函数在区间上单值且具有连续导数; 3、当在上变化时,的值在上变化,且 , 则有 (1) 证明: (1)式中的被积函数在其积分区间上均是连续, 故(1)式两端的定积分存在。且(1)式两端的被积函数的原函数均是存在的。 假设是在上的一个原函数,据牛顿—莱布尼兹公式有 另一方面, 函数的导数为 这表明: 函数是在上的一个原函数, 故有: 从而有 对这一定理给出几点注解: 1、用替换,将原来变量代换成新变量后,原定积分的限应同时换成新变量的限。 求出的原函数后,不必象不定积分那样,将变换成原变量的函数,只需将新变量的上下限代入中然后相减即可。 2、应注意代换的条件,避免出错。 (1)、在单值且连续; (2)、 3、对于时, 换元公式(1)仍然成立。
【例1】求 【解法一】 令 当时,;当时,。 又当 时,有 且变换函数 在上单值,在上连续, 由换元公式有
【解法二】令 当时, ; 当时, 。 又当时, , 且变换函数在上单值, 在上连续, 由换元公式有 注意: 在【解法二】中,经过换元,定积分的下限较上限大。 换元公式也可以反过来, 即 【例2】求 解:设, 当 时,;当 时,
一般来说,这类换元可以不明显地写出新变量,自然也就不必改变定积分的上下限。 二、常用的变量替换技术与几个常用的结论 【例3】证明 1、若在上连续且为偶函数,则 2、若在上连续且为奇函数,则 证明:由定积分对区间的可加性有
对 作替换 得 故有
若为偶函数, 则 若为奇函数, 则 【例4】若在上连续, 证明: 1、 2、 并由此式计算定积分
1、证明:设 ,
2、证明: 设 ,
【例5】求 解:令 , 故 评注: 这一定积分的计算并未求原函数,只用到了变量替换、定积分性质,这一解法值得我们学习。
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