作为一门科学的逻辑学，是既古老又年轻的。说它古老，是说它历史悠久，源远流长；说它年轻，是说它朝气蓬勃，充满生机与活力，正处于新的发展高峰期。《逻辑学十五讲》（第二版）正是对这样一门科学的系统介绍和通俗讲解。

　　《逻辑学十五讲》（第二版）是作者在北京大学开设全校通选课"逻辑导论"的讲稿。全书系统地论述了逻辑学的基本理论范畴和思维方法、技能，并介绍了历史上几位重要的逻辑学家。通过阅读本书，读者不难对逻辑学有一个基本的轮廓性了解，对其*基本的内容、方法和技能有较好的掌握，更重要的是激发进一步学习的兴趣。本次修订增加了新的研究成果，附录四篇相关文章。

　　陈波， 1957年生，湖南常德人。现为北京大学哲学系教授、博导。专业领域为现代逻辑和分析哲学，主要专著有《逻辑哲学引论》、《蒯因》、《冯·赖特》、《奎因哲学研究--从逻辑和语言的观点看》、《爱默生》、《逻辑哲学导论》、《逻辑学是什么》、《逻辑学导论》等。

"名家通识讲座书系"总序/第二版自序/初版自序/**讲 天才值得我们敬仰--西方历史上的逻辑学家/一 亚里士多德/二 中世纪逻辑学家/三 培根/四 莱布尼茨/五 弗雷格/六 罗素/七 哥德尔/八 克里普克/第二讲 给思维的野马套上缰绳--什么是逻辑学？/一 逻辑/二 命题/三 推理/四 推理形式/五 推理的省略形式/六 推理形式的有效性/七 论证：演绎和归纳/八 推理或论证的可靠性/九 前提对结论的支持或反驳程度/十 逻辑基本规律/第三讲 "香格里拉"和"马太效应"--词项、概念和定义/一 语词、词项和概念/二 词项的内涵和外延/三 词项的种类和外延关系/四 定义的方法和规则/五 划分与分类/第四讲 "假如生活欺骗了你……"--复合命题及其推理/一 简单命题和复合命题/二 联言命题和联言推理/三 选言命题和选言推理/四 假言命题和假言推理/五 负命题及其等值命题/六 几种常用的复合命题推理/第五讲 "所有的金子都是闪光的"--直言命题及其推理/一 直言命题/二 直接推理/三 三段论/第六讲 "有的投票人赞成所有的候选人"--量化命题及其推理/一 个体词、谓词、量词和公式/二 自然语言中量化命题的符号化/三 模型和赋值普遍有效式/四 非普遍有效性的解释方法/第七讲 "太阳明天仍将从东方升起"--归纳推理和归纳方法/一 什么是归纳推理？/二 简单枚举法/三 排除归纳法/四 类比推理/五 统计归纳法/六 归纳的证成/第八讲 以严格性、精确性、系统性为目标--逻辑系统和元逻辑/一 什么是逻辑系统？/二 逻辑系统的构成/三 元逻辑研究/四 形式化方法的意义/第九讲 换一个角度来思考……--变异逻辑：一些另类系统/一 什么是变异逻辑？/二 多值逻辑/三 相干逻辑/四 直觉主义逻辑/五 次协调逻辑/第十讲 "你不可能在所有时刻欺骗所有的人"--广义模态逻辑/一 冯·赖特的广义模态逻辑构想/二 模态词和模态逻辑/三 可能世界语义学/四 道义逻辑/五 时态逻辑/六 认知逻辑/第十一讲 意会："说话听声，锣鼓听音"--自然语言逻辑/一 语言的意义在于它的使用/二 语境、预设与蕴涵/三 言语行为理论/四 合作原则、会话含义和语用推理/第十二讲 且听庄子大侃"辩无胜"--论证的识别和建构/一 论证的识别/二 论证的图解/三 论证的评估/四 论证的建构/五 对一个论证的反驳/第十三讲 "以貌似讲理的方式……"--谬误：有缺陷的推理/一 谬误和诡辩/二 歧义性谬误/三 假设性谬误/四 关联性谬误/第十四讲 一只咬着自己的尾巴乱转的猫--悖论：思维的魔方/一 什么是悖论？/二 一些常见的悖论/三 悖论产生的原因/四 关于悖论的解决方案/第十五讲"彼，不两可两不可也"--中国历史上的逻辑学家/一 中国先秦逻辑学家/二 西方逻辑的早期翻译家/三 现代逻辑的传入者和研究者/附录一 逻辑学和理性精神/附录二 逻辑：一个生长和变动的概念/附录三 从人工智能看当代逻辑的发展/附录四 从《哲学逻辑手册》（第二版）看当代逻辑的发展趋势/主要参考书目和推荐读物/

第十四讲 悖论：思维的魔方在当今社会，“悖论”似乎已经成为某种形式的思维魔方，老少咸宜，激发理智的兴趣，构成智力的挑战，养成思考的习惯，锻炼思维的智慧，孕育出新的理论。但是，究竟什么是悖论？如何定义悖论？悖论能否分类？如何分类？产生悖论的原因是什么？悖论究竟是一种逻辑矛盾，还是所谓的辩证矛盾或者其他？对于悖论应该采取什么样的态度？是拒斥、消解、容忍还是干脆承认？已有的各种悖论解决方案的优劣得失如何？能否提出某种新的悖论解决方案？据我所知，很多读者对这些问题感兴趣，有些人还亲自投身于对它们的研究中。在这一章中，我将对这些问题做一些初步梳理，并给出一些尝试性的回答。一、什么是悖论？“悖论”是两个英语词paradox和antinomy、特别是前者的中译，从字面上说，悖论是指荒谬的理论，或自相矛盾的命题。*早的悖论可追溯到公元前6世纪古希腊克里特岛人埃匹门尼德（Epimenides），他提出了著名的说谎者悖论：“所有的克里特岛人都说谎。”这被载入《*·新约》的《提多书》中，因而在西方世俗社会和学术界都很有影响。此后对悖论的研究一直绵延不绝，并经历了至少两个高峰期，一是欧洲中世纪经院逻辑对悖论的研究，一是从19世纪末叶一直延续到今天的悖论研究。在中国先秦时期，庄子提出过“吊诡”一说，仍被学界一些人用作“悖论”的代名词：梦饮酒者，旦而哭泣；梦哭泣者，旦而田猎。方其梦也，不知其梦也。梦之中又占其梦焉，觉而后知其梦也。且有大觉而后知此其大梦也，而愚者自以为觉，窃窃然知之。“君乎！牧乎！”固哉！丘也与女皆梦也，予谓女梦亦梦也。是其言也，其名为吊诡。万世之后而一遇大圣知其解者，是旦暮遇之也。（《庄子·齐物论》）上面这段话是隐士长牾子对瞿鹊子所说的，意思是说：人生无常。有一夜，梦饮酒，好快活，哪知早晨醒来大祸临门，一场痛哭。又有一夜，梦伤心事，痛哭一场，哪知早晨醒来出门打猎，快活极了。做梦时不知是在做梦。梦中又做了一个梦，还研究那个梦中梦是凶还是吉。后来梦中梦醒了，才晓得那只是梦啊。后来的后来，彻底清醒了，才晓得从前的种种经历原来是一场大梦啊。蠢人醒了，自认为真醒了，得意洋洋，说长道短，谈起君贵民贱那一套，真是不可救药的老顽固哟。你老师孔丘，还有你本人，都是在做梦，只是自己不晓得。我说你们在做梦，其实我也是在梦中说梦话。这样的说法，就是所谓的“吊诡”（即后世所谓的“悖论”）。我也不能把它们解释清楚。也许到遥远的将来，碰巧会遇到一位有大智慧的人，他能够把它们解释得一清二楚。先秦墨家也用到过“悖”这一概念，相当于某种自相矛盾的说法。例如，《墨经》中说，“以言为尽悖，悖，说在其言。”（《经下》）“之人之言可，是不悖，则是有可也；之人之言不可，以当，必不当。”（《经说下》）在长达几千年的研究过程中，“悖论”或“吊诡”已成为一个庞大的家族，冠以“悖论”之名的各种语句或推论差异极大。我们有必要先厘清“悖论”的精确含义，在此基础上展开对悖论的讨论。在目前的用法中，“悖论”一词至少有以下4种含义：（1）违反常识，有悖直观，似非而是的真命题。例如，在数学史上曾喧嚣一时的所谓“无穷小悖论”就是如此：微积分中的无穷小似零（作为加项可以略去），但又非零（可以作为分母），（表面上）自相矛盾。于是，当时的英国大主教、著名哲学家贝克莱说它像一个飘动不居的鬼魂。所谓的“伽利略悖论”也与此类似：对于任一平方数，有且只有一个自然数与之对应，即作为整体一部分的平方数竟与作为整体的自然数一样多。这与当时已知的数学知识相悖，因为当时还不能从数学上很好地理解和刻画“无穷”这个概念。在逻辑中，有为数众多的所谓“蕴涵悖论”，例如著名的“实质蕴涵悖论”：真命题被任一命题所蕴涵；假命题蕴涵任一命题；以及道义逻辑中的各种“道义悖论”。这些“悖论”都是相应的逻辑系统中的定理，并且这些系统都是可靠的，内部并没有任何矛盾。这些定理之“悖”在于它们有“悖”于关于相应概念的常识、直观、经验等等，它们*多只能被叫做“直观悖论”或“经验悖论”，不属于本章所讨论的严格意义的“悖论”之列。（2）与公认的看法或观点相矛盾的命题或原则，似是而非，但其中潜藏着深刻的思想或哲理。*典型的是古希腊哲学家芝诺提出的四个“芝诺悖论”，即“二分法”、“阿基里斯追不上龟”、“飞矢不动”、“一倍的时间等于一半”。这里仅以他的“二分法”为例：假定某个物体向一个目的地运动，在它达到该目的地之前必须走完这路程的一半，而要走完这路程的一半，又要走完这一半的一半；要走完这一半的一半，则要先走完这一半的一半的一半，如此递推，以至无穷。因此，**次运动所要达到的目标是没有的，但没有**次运动的目标就不可能开始运动，因此就没有运动，运动是不可能的。这里，芝诺的论证并不是在描述或否认运动的现象和结果，而是要说明运动是如何可能的，我们应该如何在理智中、在思维中、在理论中去刻画、把握、理解运动！与此类似的是康德关于时间和空间的四个“二律背反”，仅举一例：正题：“世界在时间上有开端，在空间上有界限”；反题：“世界并无开端，也无空间的界限。就时空而言，它是无限的。”康德以触目惊心的形式揭示了世界本身就存在的矛盾。再如中国古代的名辩学家，曾提出了诸如“白马非马”、“鸡三足”、“卵有毛”这样一些表述形式怪诞的命题，其中有些命题甚至隐含着集合论思想的萌芽。（3）从一组看似合理的前提出发，通过有效的逻辑推导，得出了一对自相矛盾的命题，它们与当时普遍接受的常识、直观、理论相冲突，但又不容易弄清楚问题出在哪里，这时我们称导出了悖论。例如，下面要谈到的布拉里—弗蒂悖论，康托尔悖论，里查德悖论等等，都属此列。相反，如果只是简单地导出了矛盾，由于逻辑中不允许矛盾，根据否定后件就否定前件的规则，可以推知至少一个前提不成立，这时没有悖论。例如，中国古代曾有“言尽悖”的说法，《墨经》反驳说：“以言为尽悖，悖，说在其言。”（《经下》）用印度因明的话来说，“言尽悖”这句话“自语相违”，必定不成立。（4）悖论是指从一组看似合理的前提出发，通过看似正确有效的逻辑推导，得出了一个由互相矛盾的命题构成的等价式：p??p。这种悖论*典型的是“强化的说谎者悖论”和“罗素悖论”。前者是指这样一种情形：一个人说了**一句话：“我正在说的这句话是假的。”请问这句话究竟是真的还是假的？如果这句话是真的，则它说的是真实的情形，而它说它本身是假的，因此它是假的；如果这句话是假的，而它说它本身是假的，因此它说了真实的情形，因此它说了一句真话。于是，这句话是真的，当且仅当它是假的。这就是悖论。一般把上述“悖论”的**种意义撇开，因为无论怎么定义，悖论似乎都不应该包括那些似非而是的命题。于是，还剩下三种可能：如果把后面三种意义都包括在内，这是“悖论”的宽定义，有合理性，但不太科学；如果只包括后两种意义，这是“悖论”的中定义，我个人相当赞同。如果只包括第三种意义，则是“悖论”的狭定义，国内学界一般持这种看法。例如，《中国大百科全书·哲学卷》的“悖论”定义：“指由肯定它真，就推出它假，由肯定它假，就推出它真的一类命题。这类命题也可以表述为：一个命题A，A蕴涵非A，同时非A蕴涵A，A与自身的否定非A等值。” 《辞海》的“悖论”的定义：“一命题B，如果承认B，可推得?B；反之，如果承认?B，又可推得B，则称命题B为一悖论。” 国内悖论研究专家张建军认为：“‘公认正确的背景知识’、‘严密无误的逻辑推导’、‘可以建立矛盾等价式’，是构成严格意义逻辑悖论必不可少的三要素。由此我们可以得到如下定义：逻辑悖论指谓这样一种理论事实或状况，在某些公认正确的背景知识之下，可以合乎逻辑地建立两个矛盾语句相互推出的矛盾等价式。” 我基本同意张建军关于悖论三要素的说明，认为它是深刻的，但有两个严重保留：（1）不太赞同把“悖论”仅限制于“两个互相矛盾命题的等价式”，因为有不少悖论并不表现为这样的等价式，例如布拉里—弗蒂悖论，康托尔悖论，里查德悖论等等，勉强把它们化归于这样的等价式也不太自然。（2）在我看来，悖论意味着思维在某个地方出了毛病，但张的定义中很少有这方面的意涵，“公认正确的背景知识”、“严密无误的逻辑推导”这些字眼容易给人造成误导，似乎在导出悖论的过程中一切正确且正常。试比较以下两段引文：蒯因在《悖论的方式》一文中指出：“我们可以一般地说，一个悖论只是这样一个结论，起初听起来荒谬但却有论证去支持它吗？我*终认为，这种说法是完全站得住脚的。但这还有许多东西没有说出来。支持一个悖论的论证可能揭示了，一个被葬送掉的前提是荒谬的，或先前被看作是对物理理论或对数学或对思维过程至关重要的某个先入之见是荒谬的。因而，在看似*无辜的悖论中，可能就隐藏着巨大灾难。历史上所发现的悖论，曾不止一次地正是对思想基础的主要重建。” 哈克在讨论悖论解决方案时指出：悖论在于“从表面上无懈可击的前提，通过表面上无可非议的推理，推出了矛盾的结论。”而一种合理的悖论解决方案不得不完成两个任务：一是从形式上说明哪些表面上无懈可击的推论的前提或原则是不能允许的，二是从哲学上说明，为什么这些前提或原则表面上是无懈可击的，但实际上是有懈可击的。 （着重号系我所加）以上两段引文旨在强调悖论意味着我们的思维在某些地方出了毛病，需要对其进行诊断和治疗，这是我所赞同的，而在张建军对悖论的定义性刻画中这一点不很明显。因此，我更赞同下面的“悖论”定义：“如果某一理论的公理和推理规则看上去是合理的，但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题，或者证明了这样一个命题，它表现为两个互相矛盾的命题的等价式。那么，我们说这个理论包含一个悖论。” 或者换一种更松散的说法：如果从看起来合理的前提出发，通过看起来有效的逻辑推导，得出了两个自相矛盾的命题或这样两个命题的等价式，则称得出了悖论。用公式表示：p?(q∧?q)∨(q??q)则p是一悖论语句，这个推导过程构成一个悖论。这里的要点在于：推理的前提看似明显合理，推理过程看似合乎逻辑，推理的结果则是自相矛盾的命题或这样的命题的等价式。不过，在撰写悖论方面的书籍或讲授悖论方面的课程的时候，从传授相关知识、讲清来龙去脉的角度出发，常常采用“悖论”的宽定义。