2022复旦逻辑暑期学校第二期即将开始，Gabriel Goldberg教授将在下周为我们带来选择公理与大基数相关讲座。“我在复旦学逻辑”系列也推出了此系列的第二篇，本期将由两位主攻数学哲学方向的同学描述他们在复旦与逻辑相伴的日子。

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　　Part.1

　　寇亮 2020级博士生

　　我2017年来到复旦学习逻辑，至今已经五年了。作为本教研室智障一般的存在，我就随便谈谈学逻辑的一些感触，也许能对想在复旦选择数学哲学方向的各位有一点点参考价值。

　　复旦逻辑有两个主要方向，一个是模型论，另一个是数学哲学。模型论方向的学生可能完全不需要接触数学哲学，但数学哲学方向的学生一定会接触到模型论的基本课程。这也许是复旦逻辑的一个特点：注重数理逻辑基础的学习，并且有完整的数理逻辑课程可供选择，有从初级到进阶各个层次的课程和讨论班，能接触到真正懂各个具体分支学科的人。

　　寇亮在讨论班上的讲解

　　例如，模型论课程我可以根据自己的能力和喜好，选修导论课程，内容大约只讲到饱和模型、省略型等内容；而集合论也可以根据我个人的方向，从基本概念到可构成集、力迫法、大基数的课程全部过一遍，还可以参加讨论班。比如硕士期间我们有过读Jensen的admissible set手稿、读Kunen无穷组合一章的经历，还可以读课程教材之外的其他教材，例如Drake集合论。

　　近几年也不断有学弟学妹在杨睿之老师的鼓励下做反推数学、递归论方向的论文。除此之外，为了帮助我们接触到最一流的逻辑学家，在校内会有逻辑周、暑期学校等一系列活动，校外会支持我们参加新加坡逻辑暑期学校这样影响深远的活动，让我们直接与最前沿的专家学者面对面交流。所以，从数学哲学研习者的角度看，复旦逻辑的一个关键词是“专业”，也就是说不会对着空气做哲学分析。

　　复旦暑期学校中的讨论

　　因为很强调数学和数理逻辑课程的研习，有时候复旦逻辑在哲学学院有些显得“格格不入”，因为看起来这些和哲学好像没什么关系。近几年选择模型论方向的学生增多，更是加剧了这种刻板印象。从我自身的经验看，我也有这样的困惑。一方面觉得自己智力水平不太够，因为做不了模型论等偏数学的方向才选择了数学哲学；另一方面又觉得不太信赖数理逻辑与哲学的关系。除此之外，复旦逻辑有浓郁的柏拉图主义氛围，这与当今世界的主流哲学、主流数学哲学都格格不入，也令刚进入这个领域的学生心生疑惧。我想通过我当时做硕士论文的经历谈谈这几个方面的问题。

　　我的硕士论文题目是导师郝兆宽老师给的，内容是“大基数的内在辩护”。新公理的辩护问题在数学哲学中早已不是新鲜事，但单纯谈论内在辩护则比较困难，因为所谓内在辩护指的是基于集合概念本质的辩护，但什么是集合概念的本质，这个问题则难以回答。我当时并不是一个柏拉图主义者，对这个问题心有疑虑：真的有一个所谓集合概念的本质吗？即便有，我们凭什么能认识到它呢？为什么要为大基数做辩护？大基数公理为什么比V=L这样的公理更好？大基数公理有一些挺有秩序的结论，但这能意味着它是真的吗？抛开大基数不谈，我们能说清楚omega是什么吗？即便有理由说大基数公理是好的，这和哲学又有什么关系呢？另，数学家们根本不在意这些工作，因为对主流数学似乎丝毫没有影响……如此种种使我陷入了极大的困惑。

　　武丁教授讲述V=L相关问题

　　显然，上面的这些问题都是哲学问题，即对那些强度超出现有数学框架ZFC的内容如何理解的问题。但对我而言这个对逻辑与哲学关系的解答是远远不够的。比如，如何能论证某种数学哲学更好？例如，对一个物理主义者而言，内在辩护是一件不能理解的事；对形式主义者而言，谈集合概念的某个确定本质似乎也有些奇怪。由于谁也不能说服另一方，是否数学哲学就是这样一些没有具体内容的思辨呢？随着硕士论文的推进和对这些问题思考的逐步深入，我了解了一些当代集合论的发展，发现当今集合论领域的代表人物Woodin教授的很多工作都可以解释这些问题，即数学工作和哲学工作某种意义上是合二为一的。

　　从柏拉图主义的视角看，Woodin的数学工作正是在探索集合概念的本质，并且并不因为主流数学对它的偏见而放弃这些思考。从这个角度出发，这种数学实践同时也是形而上学思考，这与哥德尔所说的概念论和乐观的理性主义惊人相似。另外，以Shelah、Walsh、Baldwin等人为代表的模型论学家也发表过不少著作，阐述模型论工作与哲学思考的纠缠。此时我才明白，我们所接受的数理逻辑训练不仅是必须的，而且它正是哲学思考本身。只有接受足够多的数理逻辑训练，才能理解当代前沿发展的内容，也才能基于这些内容进行哲学活动。我也深深为这些工作折服，并选择继续从事数学哲学研究。此外，一次偶然的机会，我选修了郝兆宽老师与邓安庆老师合开的一门“黑格尔的逻辑学”课程，让我感到当代数理逻辑中的这些工作虽然离主流的哲学观点很远，但却离黑格尔等哲学家的距离很近，由此我对柏拉图主义数学哲学的信心大增，从此不再为说服持有其他哲学观点的人为目的，转而走上了思考集合宇宙结构的道路。之前深深困扰我的“智力不足”问题，也渐渐烟消云散。因为每个人都有自己擅长的领域，对于数学哲学的思考而言，锲而不舍与乐观豁达的态度也许比智力因素重要的多。

　　以上就是我在复旦学逻辑的一些感触，也算是为复旦风格的数学哲学做一个小小的辩护。希望未来有更多的同学加入到复旦逻辑教研室，选择数学哲学方向，走上这不同寻常的逻辑之旅。

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　　Part.2

　　单芃舒 2019级博士生

　　本、硕、博一直都在复旦。现在回想起来，选择逻辑作为专业、数学哲学作为现在的研究方向的历程对我个人似乎是一场柳暗花明的自我发现之旅。犹记得当年高中拿了化学竞赛取得了一点成绩后通过自招进了复旦。不巧少时读了些科幻小说，囫囵吞枣地啃了些哲学著作，心向基础理论，便转了哲学。缺少文科功底和思维的积淀，在哲院学习的头两年颇不适应。所幸大三那年遇到了郝兆宽和杨跃老师开设的数理逻辑课程。惊呼哲学系里还有这么理性、严格、优雅的方向。当时便将它暗自确定了研究生专业的分流方向。硕士及往后，又是在导师郝老师的鼓励下将兴趣和精力逐渐收拢到数学哲学（特别是公理辩护）讨论上面。总体而言，大抵在知识领域的文理倾向二分中选了一条“理-文-理-文”中庸之道。

　　复旦数理逻辑课程

　　个人体会而言，钻研数理逻辑的乐趣应该与学习其它数学课程相仿。一乐在于解答难题时的成就感，二乐在于渐进领悟同一概念或方法时的自如感。一阶逻辑课程中首次厘清演绎定理证明、集合论课程首次理解力迫构造等时刻都是我第一类乐趣的回忆。而从完全性定理到罗文海姆-司寇伦定理再到林德斯多姆定理一步步熟悉辛钦构造的历程则属第二类。逻辑学习过程中的乐趣的确定性在哲院学习生活中是难得的调剂和慰藉。如杨睿之老师课上常说的：“逻辑的知识体系有良基性”。如果你遇到不能理解的东西，那么你总能回溯到第一个不懂之处，并由此下手钻研。

　　洛文海姆-司寇伦定理（来自复旦《集合论》教材）

　　但坦白而言，虽然喜欢逻辑，我仍觉得自身的专注程度、基础功底不足以（在按期毕业年限内）支撑我完成一个具备足够原创性的技术性课题。因而当我最终选择“公理辩护”这一数学哲学意味更强的课题来做毕业论文时，其动机夹杂着一份真诚的兴趣、一份导师的鼓励以及一份对现实的妥协。

　　庆幸的是，确定下来的研究主题成功束缚住了我散漫的兴趣。在导师郝老师严格但必要的指导和敦促下，过去数年学习所获的意义暧昧的思想片段逐渐形成了统一的轮廓：选择公理历史、过渡基数、数学实在论、数学-科学平行论、公理辩护……甚至科学哲学课程中的量子力学本体论都以一种无需穿凿附会的方式连缀到了一起。这一切总算最终形成了一份虽不完美但令人欣慰的答卷，给了自己两位数的复旦哲院生涯一个交代。

　　单芃舒介绍研究背景

　　在复旦逻辑这么些年也见证了复旦逻辑欣欣向荣的成长。不论是教师规模、研究领域数量、课程门类、学生规模比之我研究生刚入学时都已至少翻倍。行将离去，万分不舍。有幸在这样一个纯粹而有朝气的地方度过的人生最好一段时光将是我一直珍藏的回忆。最后，还是想向我的导师致谢和致歉。感谢他一直以来的鼓励和包容。希望同门师弟师妹别像我一样拖延，少给他添烦恼。