为了便于理解分析数字系统带宽，给出如下模型（实际中模型并非如此）

要注意的是：

使用sinc的脉冲，也会导致实际看到的PSK/QAM等已调波形与理想的波形不同，因为理想波形都是以矩形脉冲为前提的（例如BPSK： y ( t ) = x ( t ) cos ⁡ 2 π f t y(t)=x(t)\cos 2\pi ft y(t)=x(t)cos2πft，其中 x ( t ) x(t) x(t)就是矩形脉冲），但我们不需要关注时域已调波形与理论的差异，只要接收端能还原基带脉冲信号（相干解调），并正确抽样判决即可

我们在信道上传输的是脉冲成形后的码元（一个脉冲波形对应一个码元），因此带宽应该从码元级别来看（而非信息比特），也就是说：

重要结论

例如，考虑最理想的sinc脉冲，则基带带宽 B = R s / 2 B=R_s/2 B=Rs​/2； 如果是双边带调制的上变频，则频带带宽 W = 2 B = R s W=2B=R_s W=2B=Rs​

模拟通信系统中，信噪比一般用 S / N S/N S/N衡量；数字通信系统中，信噪比一般用 E b / N 0 E_b/N_0 Eb​/N0​衡量；

实际上，两种指标的本质是相同的，推导如下：

E b E_b Eb​为平均每比特能量， N 0 / 2 N_0/2 N0​/2为噪声双边功率谱密度， B B B为基带信道带宽，噪声总功率为 N 0 2 × 2 B = N 0 B \frac{N_0}{2}\times2B=N_0B 2N0​​×2B=N0​B（也可以用噪声单边功率谱密度N0乘以带宽B得到）

信噪比就是信号功率和噪声功率的比： S N = E b N 0 ⋅ R b B \frac{S}{N}=\frac{E_b}{N_0}\cdot\frac{R_b}{B} NS​=N0​Eb​​⋅BRb​​ 其中分子的含义是：信号能量*传输速率=信号功率

写为对数形式，就是 S N R ( d B ) = 10 l o g 10 ( E b N 0 ) + 10 l o g 10 ( R b B ) = E b N 0 ( d B ) + R b B ( d B ) SNR(dB)=10log_{10}(\frac{E_b}{N_0})+10log_{10}(\frac{R_b}{B})=\frac{E_b}{N_0}(dB)+\frac{R_b}{B}(dB) SNR(dB)=10log10​(N0​Eb​​)+10log10​(BRb​​)=N0​Eb​​(dB)+BRb​​(dB)

前面说过，基带信道带宽 B B B取决于基带脉冲信号、上变频的方式，因而与 R s R_s Rs​挂钩，例如采用理想sinc脉冲成形，双边带调制，则 B = R s / 2 B=R_s/2 B=Rs​/2； 从而在数字调制方式和脉冲成形滤波器确定后， R b B \frac{R_b}{B} BRb​​是一个常数，因此对数下的 S / N S/N S/N和 E b / N 0 E_b/N_0 Eb​/N0​没有只是相差一个常数，没有本质区别

数字通信系统的有效性用频谱资源利用率来衡量： η = 信 息 量 传 输 时 间 × 信 道 带 宽 = R b W ( b p s / H z ) \eta=\frac{信息量}{传输时间\times 信道带宽}=\frac{R_b}{W}(bps/Hz) η=传输时间×信道带宽信息量​=WRb​​(bps/Hz)

分母的带宽，如果带入基带带宽，就是基带频谱资源利用率；带入频带带宽，就是频带频谱资源利用率； 若采用双边带调制，基带频谱资源利用率=频带频谱资源利用率x2； 有时分子也带入 R s R_s Rs​计算，则此时单位变为Baud/Hz

例如，采用理想sinc脉冲成形，双边带调制，则 W = 2 B = R s W=2B=R_s W=2B=Rs​，进而有 η = R b W = R b R s \eta=\frac{R_b}{W}=\frac{R_b}{R_s} η=WRb​​=Rs​Rb​​可见，由于 R b = l o g 2 M R s R_b=log_2MR_s Rb​=log2​MRs​，调制阶数 M M M越高，调制效率 η \eta η越高； 当然调制阶数增高，也会导致星座图中点间距变小，可靠性降低

比特速率 R b R_b Rb​和信噪比 E b / N 0 E_b/N_0 Eb​/N0​固定的情况下（基带滤波也固定），则调制编码方式决定了频谱资源利用率

虽然可以优化调制方式（增加调制阶数），增加频谱利用率，但是频谱资源利用率有上限（一个码元承载过多比特，终究会导致大量误码、无法可靠通信），这个上限由 E b / N 0 E_b/N_0 Eb​/N0​决定

[推导] 频谱利用率（传输速率 R b R_b Rb​与带宽 B B B的比值）和信噪比 E b / N 0 E_b/N_0 Eb​/N0​的关系 信息传输速率最大，应将 R b = C R_b=C Rb​=C代入信噪比 S N = E b N 0 ⋅ R b B \frac{S}{N}=\frac{E_b}{N_0}\cdot\frac{R_b}{B} NS​=N0​Eb​​⋅BRb​​ 带入香农公式： C = B l o g 2 ( 1 + S / N ) = B l o g 2 ( 1 + E b N 0 ⋅ C B ) C=Blog_2(1+S/N)=Blog_2(1+\frac{E_b}{N_0}\cdot\frac{C}{B}) C=Blog2​(1+S/N)=Blog2​(1+N0​Eb​​⋅BC​), 可以得到 E b N 0 \frac{E_b}{N_0} N0​Eb​​和 C B \frac{C}{B} BC​满足关系： E b N 0 = 2 C / B − 1 C / B \frac{E_b}{N_0}=\frac{2^{C/B}-1}{C/B} N0​Eb​​=C/B2C/B−1​，或 E b N 0 ( d B ) = 10 l o g 10 ( 2 C / B − 1 C / B ) \frac{E_b}{N_0}(dB)=10log_{10}(\frac{2^{C/B}-1}{C/B}) N0​Eb​​(dB)=10log10​(C/B2C/B−1​) 关系如图： 注意，这里讨论的是基带频谱资源利用率 C / B C/B C/B，若采用双边带调制，频带频谱资源利用率为它的一半

狭义香农极限：（通过编码实现）无差错传输，所需的最小信噪比，约为-1.6dB 广义香农极限：要达到给定的误码率，所需的最小信噪比 香农第二定理指出，只要信息传输速率小于信道容量，一定存在一种信道编码，使得信息传输错误概率任意小 香农第二定理对应的 [最大信息传输速率（信道容量C）下，无错传输所需的最小信噪比]，正是对应这里的狭义香农极限

数字通信系统的有效性用误比特率BER来衡量，误比特率通常随着信噪比 E b / N 0 E_b/N_0 Eb​/N0​增大而降低

提高可靠性 / 改善误比特率，有两个思路： ①提高信噪比：信号发射功率不可能无限提高，所以信噪比总是有限的 ②信道编码：增加的冗余信息来实现纠错，但显然占用了一部分传输资源，有效性降低

例如(2,1,3)卷积码，输入1 bit，编码器输出2 bit，信道编码后，若要保持有用信息传输速率 R b R_b Rb​不变，则信道编码后的波特率 R s R_s Rs​变为原来两倍，进而占用带宽 W = R s W=R_s W=Rs​也变为原来两倍，因此频谱资源利用率 η \eta η减半，有效性降低

另外，之前也说过，PSK调制阶数增加，虽然有效性更好（频谱利用率升高），但可靠性变差（星座点更靠近） 可见，通信系统的可靠性和有效性总是相互制约的，实际中应该根据不同需要做权衡