通信原理学习笔记4：信道编码、分组码、卷积码、现代信道编码（Turbo码、LDPC码、Polar码） |
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信道编码 / 前向纠错码FEC
思想是在数据中增加冗余信息，即校验码元 / 监督码元，从而检错、纠错 信道编码的优劣评判 首先，最基本的是要追求低差错率实现纠错很简单，只要多添加冗余信息就好；但实际中，我们还需要考虑编/译码复杂度问题和开销问题： 编/译码复杂度低，可以节省算力资源、提高处理速度保证纠错性能的同时，追求尽量小的开销（冗余比特） 也就是说：好的信道编码，能够在一定的编码率 R = k / n R=k/n R=k/n下（将 k k k个信息位编码为总共 n n n位），接近信道的容量的极限——香农极限 香农极限根据香农第二定理，只要采用合适的信道编码，无差错传输的信息传输速率上限就是信道容量 也就是说，实现无差错传输，理论上的最大传输速率就是信道容量，我们称之为香农极限 / 香农容量理论存在，那么实际中如何让信息速率逼近香农极限呢？需要采用足够长的随机编码分组码有规则的代数结构，显然不是“随机”的，译码复杂度也限制了码长不能太长，因而远达不到香农极限； 后续的Turbo码、LDPC码、Polar码，才逐渐接近香农极限 信道编码举例我们的思路是： 分组码：多个信息位成一组，对这一组比特追加校验位 信息单独分块处理，其演进过程是重复码->汉明码->戈莱码->RM码->循环冗余校验CRC码 缺点：每一组编码全部接收后才能译码；并且需要精确的帧同步才能正确译码卷积码：对于当前输入的多个信息位，编码器的输出还与之前输入的信息位有关 卷积码引入各个信息块之间的相关性（随着约束长度 N N N增加，差错率指数下降）；并且编译码可以连续进行（无需等待整组信息）现代信道编码：Turbo码、LDPC码、Polar码 进一步逼近香农极限LTE控制信道的信道编码就采用了 ( 3 , 1 , 7 ) (3,1,7) (3,1,7)的卷积码； 3G、4G中广泛应用Turbo码（运用交织实现了“伪随机”，在高噪声环境下也性能优越） 5G的eMBB场景下，控制信道使用Polar码，数据信道使用LDPC码（更短时延要求更快的译码速度，而Turbo码的迭代译码被淘汰） 1. 分组码k k k个信息位分为一组，增加 n − k n-k n−k位冗余码元，总共得到 n n n位数据，称为 ( n , k ) (n,k) (n,k)分组码 n − k n-k n−k位冗余码元称为监督码元 / 校验码元，用于检错和纠错 分组码的矩阵表述： 生成矩阵给出信息位的行向量 m 1 × n \boldsymbol m_{1\times n} m1×n，那么有一个生成矩阵 G k × n \mathbf G_{k\times n} Gk×n可以生成分组码的码字行向量 C 1 × n \mathbf C_{1\times n} C1×n C 1 × n = m G = [ c 1 c 2 . . . c n ] \mathbf C_{1\times n}=\boldsymbol m\mathbf G=\left[\begin{array}{c}\boldsymbol c_1&\boldsymbol c_2&...&\boldsymbol c_n\end{array}\right] C1×n=mG=[c1c2...cn] 码字行向量 C \mathbf C C的分量 c c o l \boldsymbol c_{col} ccol（第col列）源于 m \boldsymbol m m和 G \mathbf G G的第col列相乘，也就是说，编码后每一位码字都是信息位 m \boldsymbol m m的线性组合结果，如 c 4 = m 2 + m 3 \boldsymbol c_4=\boldsymbol m_2+\boldsymbol m_3 c4=m2+m3 校验矩阵由上式改写可知，对于合法的码字 C \mathbf C C，若校验信息长度 m = n − k m=n-k m=n−k，那么各个码字之间一定满足 m m m个方程的约束 例如， ( 5 , 3 ) (5,3) (5,3)分组码的合法码字满足 { c 2 + c 3 + c 4 = 0 c 1 + c 2 + c 3 + c 5 = 0 \left\{\begin{matrix} \boldsymbol c_2+\boldsymbol c_3+\boldsymbol c_4=0 \\ \boldsymbol c_1+\boldsymbol c_2+\boldsymbol c_3+\boldsymbol c_5=0 \end{matrix}\right. {c2+c3+c4=0c1+c2+c3+c5=0（注意，以下一切加法为模2加），那么将其视为齐次线性方程组， c n \boldsymbol c_n cn视为未知数，写为矩阵形式得到 [ 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 ] [ c 1 c 2 c 3 c 4 c 5 ] = [ 0 0 ] \begin{bmatrix}0 & 1 & 1 & 1 & 0\\1 & 1 & 1 & 0 &1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \boldsymbol c_1 \\ \boldsymbol c_2 \\\boldsymbol c_3\\\boldsymbol c_4\\\boldsymbol c_5\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0 \\ 0\end{bmatrix} [0111111001]⎣ ⎡c1c2c3c4c5⎦ ⎤=[00] 定义校验矩阵 H ( n − k ) × n = [ 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 ] \mathbf H_{(n-k)\times n}=\begin{bmatrix}0 & 1 & 1 & 1 & 0\\1 & 1 & 1 & 0 &1\end{bmatrix} H(n−k)×n=[0111111001]，可见所有合法码字 C T \mathbf C^T CT（列向量）构成了 H \mathbf H H的零空间，即 H C T = 0 ( n − k ) × 1 = [ 0 ⋮ 0 ] \mathbf H\mathbf C^T=\mathbf 0_{(n-k)\times 1}=\begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0\end{bmatrix} HCT=0(n−k)×1=⎣ ⎡0⋮0⎦ ⎤实际上，校验矩阵 H \mathbf H H和生成矩阵 G \mathbf G G满足 H G T = 0 ( n − k ) × k \mathbf H\mathbf G^T=\mathbf 0_{(n-k)\times k} HGT=0(n−k)×k（两者可以互相求出）对于合法的码字行向量 C 1 × n ′ \mathbf C'_{1\times n} C1×n′后，与校验矩阵 H \mathbf H H做内积：若 H ( C ′ ) T = 0 \mathbf H (\mathbf C')^T=\mathbf 0 H(C′)T=0，说明通过了校验，没有出错 标准/系统校验矩阵根据线性方程组的理论， H \mathbf H H任意进行初等行变换，不改变校验位的约束关系（相当于消元） 由此，一般形式的 G \mathbf G G和 H \mathbf H H，对其做初等行变换，可以得到 系统生成矩阵 G S = [ I k Q k × ( n − k ) ] k × n \mathbf G_{S}=\begin{bmatrix} \mathbf I_k &\mathbf Q_{k\times (n-k)} \end{bmatrix}_{k\times n} GS=[IkQk×(n−k)]k×n系统校验矩阵 H S = [ Q ( n − k ) × k T I ( n − k ) ] ( n − k ) × n \mathbf H_{S}=\begin{bmatrix} \mathbf Q_{ (n-k)\times k}^T &\mathbf I_{(n-k)} \end{bmatrix}_{(n-k)\times n} HS=[Q(n−k)×kTI(n−k)](n−k)×n这样做的好处是，所有信息位原样集中分布，所有校验位集中分布在码字的末尾 校验方法和伴随式前面说过，合法的码字行向量 C 1 × n ′ \mathbf C'_{1\times n} C1×n′与校验矩阵 H \mathbf H H满足： H ( C ′ ) T = 0 \mathbf H (\mathbf C')^T=\mathbf 0 H(C′)T=0 实际中，接收码字行向量 r 1 × n \mathbf r_{1\times n} r1×n=原始码字 c 1 × n ⊕ \mathbf c_{1\times n}\oplus c1×n⊕错误图样 e 1 × n \mathbf e_{1\times n} e1×n 那么，对于接收码字行向量 r 1 × n \mathbf r_{1\times n} r1×n，校验方法就是计算 r 1 × n H n × ( n − k ) T = s 1 × ( n − k ) \mathbf r_{1\times n}\mathbf H_{n\times (n-k)}^T=\mathbf s_{1\times (n-k)} r1×nHn×(n−k)T=s1×(n−k)，称 s 1 × ( n − k ) \mathbf s_{1\times (n-k)} s1×(n−k)为伴随式 如果伴随式 s 1 × ( n − k ) = 0 \mathbf s_{1\times (n-k)}=\mathbf 0 s1×(n−k)=0，可能无差错 / 错误图样刚好为某个码字如果伴随式 s 1 × ( n − k ) ≠ 0 \mathbf s_{1\times (n-k)}\neq\mathbf 0 s1×(n−k)=0，必有差错s 1 × ( n − k ) ≠ 0 \mathbf s_{1\times (n-k)}\neq\mathbf 0 s1×(n−k)=0时，纠错方法是：提前计算所有可能导致该结果的错误图样 e 1 × n \mathbf e_{1\times n} e1×n，并选择其中出错最少（1的个数最少）的作为最终的错误图样 e 1 × n \mathbf e_{1\times n} e1×n（上面说过，伴随式数量 |
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