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动态规划的概念

动态规划的递归写法

动态规划的递推写法

动态规划是一种用来解决一类最优化问题的算法思想。简单来说，动态规划将一个复杂的问题分解成若干个子问题，通过综合子问题的最优解来得到原问题的最优解。需要注意的是，动态规划会将每个求解过的子问题的解记录下来，这样当下一次碰到同样的子问题时，就可以直接使用之前记录的结果，而不是重复计算。注意：虽然动态规划采用这种方式来提高计算效率，但不能说这种做法就是动态规划的核心。

以斐波那契数列为例，斐波那契数列的定义为

为了避免重复计算，可以开一个一维数组dp，用以保存已经计算过的结果，其中dp[n]记录F(n)的结果，并用dp[n]==-1表示F(n)当前还没有被计算过。

然后就可以在递归当中判断dp[n]是否为-1：如果不是-1，说明已经计算过F(n)，直接返回dp[n]就是结果；否则，按照递归式进行递归。代码如下：

这样就把已经计算过的内容记录下来，于是当下次再碰到需要计算相同的内容时，就能直接使用上次计算的结果，这可以省去大半无效计算，而这也是记忆化搜索这个名字的由来。

通过上面的例子可以引申出一个概念：如果一个问题可以被分解为若干个子问题，且这些子问题会重复出现，那么就称这个问题拥有重叠子问题。动态规划通过记录重叠子问题的解，来使下次碰到相同的子问题时直接使用之前记录的结果，以此避免大量重复计算。因此，一个问题必须拥有重叠子问题，才能使用动态规划去解决。

以经典的数塔问题为例，将一些数字排成数塔的形状，其中第一层有一个数字，第二层有两个数字…第n层有n个数字。现在要从第一层走到第n层，每次只能走向下一层连接的两个数字中的一个，问：最后将路径上所有数字相加后得到的和最大是多少？

针对这个问题，枚举的话时间复杂度太高。不妨令dp[i][j]表示第i行第j个数字出发的到达最底层的所有路径中能得到的最大和。在定义这个数组之后，dp[1][1]就是最终想要的答案。

同时，我们可以考虑到如果要求出dp[i][j]，那么一定要先求出它的两个子问题“从位置(i+1,j)到达最底层的最大和dp[i+1][j]”和"从位置(i+1,j+1)到达最底层的最大和dp[i+1][j+1]“，即进行了一次决策：走位置(i,j)的左下还是右下。于是dp[i][j]就是dp[i+1][j]和dp[i+1][j+1]的较大值加上f[i][j]。写成式子就是：.

把dp[i][j]称为问题的状态，而把上面的式子称作状态转移方程，它把状态dp[i][j]转移为dp[i+1][j]和dp[i+1][j+1]。可以发现，状态dp[i][j]只与第i+1层的状态有关，而与其他层的状态无关，这样层号为i的状态总是可以由层号为i+1的两个子状态得到。那么，如果总是将层号增大可以发现数塔的最后一层的dp值总是等于元素本身，即dp[n][j]=f[n][j]，把这种可以直接确定其结果的部分称为边界，而动态规划的递推写法总是从这些边界出发，通过状态转移方程扩散到整个dp数组。

这样就可以从最底层各位置的dp值开始，不断往上求出每一层各位置的dp值，最后就得到dp[1][1]，即为最后得到的答案。