复合函数及其定义域求法(1)

一、复合函数的定义：设y是u的函数，即y=f(u),u是x的函数，即u=g(x)，且g(x)的值域与f(u)的定义域的交集非空，那么y通过u的联系成为x的函数，这个函数称为由y=f(u)，u=g(x)复合而成的复合函数记作y=f[g(x)],其中u称为中间变量。

二、对高中复合函数的通解法——综合分析法

1、解复合函数题的关键之一是写出复合过程

例1：指出下列函数的复合过程。

(1)y=√2-x2 (2)y=sin3x (3)y=sin3x

解：(1) y=√2-x2是由y=√u,u=2-x2复合而成的。

(2)y=sin3x是由y=sinu,u=3x复合而成的。

(3)∵y=sin3x=(sinx)-3

∴y=sin3x是由y=u-3,u=sinx复合而成的。

2、解复合函数题的关键之二是正确理解复合函数的定义。

看下例题：例2：已知f(x+3)的定义域为[1、2],求f(2x-5) 的定义域。

经典误解1：解：f(x+3)是由y=f(u),u=g(x)=x+3复合而成的。

F(2x-5)是由y=f(u2),u2=g(x)=2x-5复合而成的。

由g(x),G(x)得：u2=2x-11 即：y=f(u2),u2=2x-11

∵f(u1)的定义域为[1、2]

∴1≤x﹤2

∴-9≤2x-11﹤-6

即：y=f(u2)的定义域为[-9、-6]

∴f(2x-5)的定义域为[-9、-6]

经典误解2：解：∵f(x+3)的定义域为[1、2]

∴1≤x+3﹤2

∴-2≤x﹤-1

∴-4≤2x﹤-2

∴-9≤2x-5﹤-7

∴f(2x-5)的定义域为[-9、-7]

注：通过以上两例误解可得，解高中复合函数题会出错主要原因是对复合函数的概念的理解模棱两可，从定义域中找出“y”通过u的联系成为x的函数，这个函数称为由y=f(u),u=g(x)复合而成的复合函数，记作y=f[g(x)],其中u称为“中间变量”。从以上误解中找出解题者易将f(x+3)的定义域理解成(x+3)的取值范围，从而导致错误。而从定义中可以看出u仅仅是中间变量，即u既不是自变量也不是因变量。复合函数的定义域是指y=f(u),u=g(x)中u=g(x)中的x的取值范围，即：f(x+3)是由f(u),u=x+3复合而成的复合函数，其定义域是x的取值范围。

正确解法：解:f(x+3)是由y=f(u1),u1=x1+3(1≤x﹤2)复合而成的。

f(2x-5)是由y=f(u2),u2=2x2-5复合而成的

∵1≤x1﹤2

∴4≤u1﹤5

∴4≤u2﹤5

∴4≤2x2-5﹤5

∴2≤x2﹤5

∴f(2x-5)的定义域为[2、5]

结论：解高中复合函数题要注意复合函数的分层，即u为第一层，x为第二层，一、二两层是不可以直接建立关系的，在解题时，一定是同层考虑，不可异层考虑，若异层考虑则会出现经典误解1与2的情况。

复合函数定义域求法(2)

一、求高中复合函数定义域的题型

题型一：单对单，如：已知f(x)的定义域为[-1,4],求f(x+2)的定义域。

题型二：多对多，如：已知f(x+3)的定义域为[1、2],求f(2x-5)的定义域。

题型三：单对多，如：已知f(x)的定义域为[0、1],求f(2x-1)的定义域。

题型四：多对单，如：已知f(2x-1)的定义域为[0、1],求f(x)的定义域。

注：通解法——综合分析法的关键两步：

第一步：写出复合函数的复合过程。

第二步：找出复合函数定义域所真正指代的字母(最为关键)

下面用综合分析法解四个题型

题型一：单对单：

例3：已知f(x)的定义域为[-1、4],求f(x2)的定义域。

第1步：写出复合函数的复合过程：

f(x2)是由y=f(u),u=x22复合而成的。

(由于要同层考虑，且u与x的取值范围相同，故可这样变形)

f(x)是由y=f(u),u=x1复合而成的。

∴f(x)的定义域为[-1、4]

第2步：找出复合函数定义域的真正对应

∴-1≤x1﹤4

即-1≤u﹤4

又∵u=x22

∴-1≤x22﹤4

(x2是所求f(x2)的定义域，此点由定义可找出)

∴-2﹤x2﹤2

∴f(x2)的定义域为(-2,2)

结论：此题中的自变量x1,x2通过u联系起来，故可求解。

题型二：多对多：

如例6：已知f(x+3)的定义域为[1、2],求f(2x-5)的定义域。

解析：多对多的求解是比较复杂的，但由解题型三与题型四的结论：

已知 f(x)的定义域,可求出y=f[g(x)]的定义域”

已知y=f[g(x)]的定义域,可求出f(x)的定义域

可以推出f(x)与y=f[g(x)]可以互求。

若y1=f(x+3),y2=f(2x-5),

同理，已知y1=f(x+3)的定义域，

故,

这里f(x)成为了联系y1=f(x+3),y2=f(2x-5)的一个桥梁，

其作用与以上解题中u所充当的作用相同。

所以，在多对多的题型中，可先利用开始给出的复合函数的定义域先求出f(x)，再以f(x)为跳板求出所需求的复合函数的定义域，具体步骤如下：

第一步：写出复合函数的复合过程:

f(x+3)是由y=f(u)u=x+3复合而成的。

f(2x-5)是由y2=f(u)u=2x-5复合而成的。

∴4≤x+3≤5

∴4≤u≤5

设：函数y3=(u),u=x

∴y3=f(x)的定义域为[4、5]

第三步：通过桥梁f(x)进而求出y2=f(2x-5):

f(x) 是由y3=f(u),u=x复合而成的

∵4≤x≤5

∴4≤u≤5

∴4≤2x-5≤5

∴ ≤x2≤5

∴f(2x-5)的定义域为：[5]

小结：实际上，此题也可以u为桥梁求出f(2x-5), 详参照例2的解法。

题型三：单对多：

例4：已知f(x)的定义域为[0,1],求f(2x-1)的定义域。

第1步：写出复合函数的复合过程：

f(x)是由y=f(u),u=x1复合而成的。

f(2x-1)是由y=f(u),u=2x2-1复合而成.

第2步：找出复合函数定义域的真正对应：

∵0≤x1≤1

∴0≤u≤1

∴0≤2x2-1≤1

∴x2≤1

∴f(2x-1)的定义域为[，1]

结论：由此题的解答过程可以推出：已知f(x)的定义域可求出y=[g(x)]的定义域。

题型四：多对单：

如：例5：已知f(2x-1)的定义域为[0、1],求f(x)的定义域。

第1步：写出复合函数的复合过程：

f(2x-1)是由f(u),u=2x1-1复合而成的。

f(x)是由f(u),u=x2复合而成的。

第2步：找出复合函数定义域对应的真正值：

∵0≤x1≤1

∴0≤2x1≤2

∴-1≤2x1-1≤1

∴-1≤u≤1

∴-1≤x2≤1

∴f(x)的定义域为[-1、1]

结论：由此题的解答过程可以推出：已知y=f[g(x)]的定义域可求出f(x)的定义域。

小结：通过（高中数学www.gaozhong.cc/shuxue/）观察题型一、题型三、题型四的解法可以看出，解题的关键在于通过u这个桥梁将x1与x2联系起来解题。

二、将以上解答过程有机转化为高中的标准解答模式。

如：例7：已知函数y=f(x)的定义域为[0、1]，求函数y=f(x2+1)的定义域。

解：∵函数f(x2+1)中的x2+1相当于f(x)中的x(即u=x2+1,与u=x)

∴0≤x2+1≤1

∴-1≤x2≤0

∴x=0

∴定义域为{0}

小结：本题解答的实质是以u为桥梁求解。

例8：已知y=f(2x-1)的定义域为[0、1],求函数y=f(x)的定义域。

解：由题意：0≤x≤1(即略去第二步，先找出定义域的真正对象)。

∴-1≤2x-1≤1(即求出u,以u为桥梁求出f(x)

视2x-1为一个整体(即u与u的交换)

则2x-1相关于f(x)中的x(即u与u的交换，

f(x)由y=f(u),u=x复合而成，-1≤u≤1,

∴-1≤x≤1)

∴函数f(x)的定义域为[-1、1]

总结：综合分析法分了3个步骤

写出复合函数的复合过程。 找出复合函数定义域所指的代数。 找出解题中的桥梁(u或f(x)可为桥梁)

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