代数和微积分中的许多应用都依赖于知道如何找到函数的逆,这就是本教程的主题。

首先,你需要意识到,在找到一个函数的逆之前,你需要确保这样的逆存在。

我们将使用的求逆方法的好处在于,我们将找到逆并同时找出它是否存在。

准备好？？那就系好。

从技术上讲,当函数是一对一（内射）和满射时,它具有逆函数。

但关键的条件是它必须是一对一的,因为可以通过将其范围限制为自己的图像来使函数成为满射的。

你怎么知道一个函数什么时候是一对一的？

好吧,至少有几种方法。一种是代数方式,另一种方式是图形方式（我敢打赌我知道你更喜欢哪种方式,嗯？）

代数方式

对于代数方式,为了使函数 \(f\) 一对一,我们需要证明每次 \(f(x) = f(y)\) 时,我们都需要有 \(x = y\)。

换句话说,我们需要证明

图形方式

对于图形方式,我们需要使用 水平线测试 ：对于我们绘制的任何水平线,函数的图形最多与该水平线交叉一次。

图形化：

它通过了水平线测试

它没有通过水平线测试

找到给定函数 \(f(x)\) 的逆需要您解方程。

事实上,你有方程 \(f(x) = y\),你把 \(y\) 作为一个给定的数字,你需要为 \(x\) 解它,你需要确保解是唯一的。

就这些。容易吧？？

现在,进入实际步骤：

第1步： 对于给定的 \(y\),设置等式：

并为 \(x\) 解决它。

第2步： 确保您注意查看哪个 \(y\),实际上有一个独特的解决方案。

第 3 步： 一旦您根据 \(y\) 求解 \(x\),依赖于 \(y\) 的表达式将是您的 \(f^{-1}(y)\)。

第四步： 将变量名称从 \(y\) 更改为 \(x\),您就拥有了反函数 \(f^{-1}(x)\)。

求函数 \(f(x) = \sqrt x\) 的逆函数

因此,我们将 \(y\) 作为给定,我们需要解决 \(f(x) = y\),在这种情况下,它对应于解决

注意平方根总是非负的,所以为了有一个解,我们需要 \(y\ge 0\)。

将正方形应用于两侧我们得到

那么,\(f^{-1}(y) = y^2\),并切换变量名,我们得到的反函数是

对于 \(x\ge 0\)。

找到函数 \(f(x) = \displaystyle \frac{x}{x+1}\) 的逆函数,对于 \(x > -1\)

同样,我们将 \(y\) 视为给定,现在我们需要求解 \(x\) 方程 \(f(x) = y\)。所以我们有

那么,\(f^{-1}(y) = \displaystyle \frac{y}{1-y}\),并切换变量名,我们得到的反函数是