对于连续型随机变量，经常考察的一个知识点是其函数的分布，以及变换函数后的分布。例如，考察形如 Z = X + Y Z = X + Y Z=X+Y 的变换。在浙大版的《概率论与数理统计》教材中，主要重点考察了几类函数的分布，包括 Z = X + Y Z = X + Y Z=X+Y， Z = X Y Z = XY Z=XY， Z = X / Y Z = X/Y Z=X/Y，以及 Z = min ⁡ ( X , Y ) Z = \min(X, Y) Z=min(X,Y) 和 Z = max ⁡ ( X , Y ) Z = \max(X, Y) Z=max(X,Y)。

之所以教材特别重视这些知识点，是因为对于连续型随机变量来说，有时直接使用连续的密度函数对概率事件进行建模并不总是可行的。这时，使用概率函数可以简化工作量。因此，这也是学习概率论的人必须掌握的基础概念之一。

概率函数有很多种，但基本形式包括上述几种。

“Z = X + Y” 型分布指的是两个随机变量 X 和 Y 的和的分布。为了得到 Z 的概率密度函数，我们需要知道 X 和 Y 的具体分布情况。然而，如果我们假设 X 和 Y 是独立的随机变量，并且它们各自有已知的概率密度函数，那么 Z 的概率密度函数可以通过卷积得到。

如果 X 的概率密度函数是 f X ( x ) f_X(x) fX​(x)，Y 的概率密度函数是 f Y ( y ) f_Y(y) fY​(y)，那么 Z 的概率密度函数 f Z ( z ) f_Z(z) fZ​(z) 可以表示为：

f Z ( z ) = ∫ − ∞ ∞ f X ( x ) f Y ( z − x )   d x f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) f_Y(z - x) \, dx fZ​(z)=∫−∞∞​fX​(x)fY​(z−x)dx

这个公式是通过对 X 的所有可能值的积分来实现的，其中 Y 的值调整为 ( z - x ) 以保证和为 z。这个过程称为卷积。如果 X 和 Y 的分布类型已知，那么这个积分可以具体计算出来。如果 X 和 Y 都是正态分布的，那么它们的和也是正态分布的，其均值和方差分别是原始分布均值和方差的和。

（1）：设X和Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别如下，求Z = X + Y的概率密度 f x ( x ) = { e − 2 x x > 0 0 e l s e f_x(x) = \left\{\begin{matrix} e^{-2x} & x > 0\\ 0 & else \end{matrix}\right. fx​(x)={e−2x0​x>0else​ f y ( y ) = { 1 / 2 0 ≤ y < 2 0 e l s e f_y(y) = \left\{\begin{matrix} 1/2 & 0 \leq y < 2\\ 0 & else \end{matrix}\right. fy​(y)={1/20​0≤y 0 , 0 ≤ y < 2 0 e l s e f_z(z) = \int f_x(x) f_y(z - x) dx \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{1}{2} \int e^{-2x} dx& x > 0, 0 \leq y < 2\\ 0 & else \end{matrix}\right. fz​(z)=∫fx​(x)fy​(z−x)dx⇒{21​∫e−2xdx0​x>0,0≤y 0 0 ≤ y < 2 ⇒ { x > 0 0 ≤ z − x < 2 ⇒ { x > 0 z − 2 < x ≤ z \left\{\begin{matrix} x > 0 \\ 0 \leq y < 2 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x > 0 \\ 0 \leq z - x < 2 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x > 0 \\ z - 2 < x \leq z \end{matrix}\right. {x>00≤y00≤z−x0z−2 0 x>0 不想交时， f z ( z ) = 0 f_z(z) = 0 fz​(z)=0

对于第二种情况，部分相交时，有： z − 2 < 0 < z z-2 < 0 < z z−2